Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
200
слоя. Вычтем уравнение (7.1) из (7.2) и воспользуемся (7.3), получим
(7.5)
Уравнение (7.5) имеет интеграл. Так как при +оо Ne-+ О, E E+, получаем
Уравнение (7.6) выражает собой закон сохранения полного тока, складывающегося из тока смещения ~идЕ!д\у тока проводимости ~beENe и диффузии. Строго говоря, необходимо одновременно с диффузией учесть и термоэлектрические токи, являющиеся величиной того же порядка [12]. Приближенно их можно учесть через изменение коэффициента диффузии. Будем искать решение с граничными условиями на —оо:
Легко видеть из (7.6), что в этом случае N- = 0 (рис. 7.1). Если пренебречь потерями энергии электронов на возбуждение атомов газа, как это было сделано в работах [2] и [13], то можно получить N^00 ф 0. Уравнение (7.6) допускает такой вид граничных условий:
Это соответствует случаю, когда характерные времена распространения стримера меньше времени гибели (рекомбинации) заряженных частиц.
Проанализируем подробнее другой предельный случай, когда за время распространения стримера рекомбинация частиц за фрон-* том успевает произойти. Такая ситуация реализуется при ра<?^ пространении стримера на расстояниях порядка 1 м. Рассмотрим сначала случай, когда диффузионный член в выражении (7.6) мал по сравнению с током проводимости. Соответствующее условие будет написано ниже. В то же время в уравнении (7.1) диффузионный член может быть порядка разности двух больших членов —UdNJdli и Ье (<djd%) (ENe) и его следует оставить. Подставляя из уравнения
(7.6)
E
E . = const, Ne -> N1
оо*
?- = 0, 0.
U
дЕ
4яеЬе E д|
201
в уравнение (7.1), получаем
____и д I 1 дЕ \ , д2 E
Ьл
dl
E
= «(?)
De
Si I ^l2
дЕ
dl
_1_
dl* V E дЕ dl
дЕ
dl
(7.7)
Уравнение (7.7) также имеет интеграл, который запишем с учетом условия на —оо E (—оо) =
Л_____ и \ дЕ De д I 1 дЕ \
I ЬеЕ) dl Ье ' dl [ E ' dl )~
E
Яс
=Jlct-
E
1
тЬеЕ
dE.
(7.8)
Рис. 7.1. Качественное распределение напряженности электрического поля E и плотности электронов Ne в волне ионизации, бегущей к аноду (I=z—ut)
Рассмотрим условие на +оо E Е+ = const. Из уравнения
(7.8) следует
Е+
J (a— I/хЬеE)dE = 0. (7.9)
Условие (7.9) связывает значения полей E- и Е+ и имеет вид правила равных площадей. На рис. 7.2 заштрихованные площади должны быть одинаковыми. Условие (7.9) можно использовать для оценки напряжения E*, при котором возможно самоподдержива-ющееся распространение стримера в промежутке длиной d. Предполагая для определенности зависимость вида a (E) ~ ехр (—AJE) [11], можно получить приближенно (?+ = .?*):
P 2 1
In *
тЬе E-
(7.10)
202
Оценим величину ?_, считая, что в ионизованной области ток ~ O0E-г2, где а0 — проводимость, а вне ее он определяется током смещения ~ UdCIdt, где U — напряжение на промежутке; С — емкость системы электрод—стример (С ~ S/And; dC/dt ~ SaKnd2; и ~ ЪеЕ*). Поскольку величина E-входит в (7.10) под знаком логарифма, такая оценка вполне удовлетворительна. В результате имеем
a (EJ d
U S d г Ad
be
Tbe FA
4яа0 d 1п4(?Л1)
be uS
Рис. 7.2.
ZbeE
К правилу площадей (7.9)
Условие (7.11) является аналогом условий Мика и Ретера а (?*) d ~ 20.
При практическом использовании условия (7.11) можно брать т ~ 10~8 Ч--4- IO-10 сек. При оценке правой части
(7.11) видно, что она принимает порядок величины, не противоречащий условию a (.E*) d ~ 20. В то же время буквенно правая часть
(7.11) отличается от этого условия и поэтому поддается экспериментальной проверке.
Условие (7.9) может быть обобщено на случай, когда уход частиц из основного канала имеет рекомбинационный характер. Уравнение (7.8) допускает понижение порядка дифференцирования. Обозначая
(HE) ¦ dE/dl = у (E) и переходя к безразмерным величинам
так что
получаем
E = Е+е; и/(ЬеЕ+) = и; S = %/а0, у = ц (є) а0,
(IAe) • де/д% = г\ (є),
К*™- т-J *1- <Ui)
Єо
Здесь введены обозначения
a (E) = GL0 о (E); б = -
т=м±
Ot0 De
1
Tbe ?+ а0
Условие пренебрежения в уравнении (7.6) диффузионным членом имеет вид у > 1; условие (7.9) в новых переменных:
і
^ de [а (є)—б/е] = 0; е«
203
граничные условия к уравнению (7.12): при є = є0 т] = 0, а при є = 1 г) = 0, т. е. интегральная кривая уравнения (7.12) должна проходить через две особые точки. Умножая уравнение (7.12) на г] (є) и интегрируя по є от є0 до 1 с учетом граничных условий, получаем
Условие (7.13) можно использовать для определения безразмерной скорости к. Перепишем уравнение (7.12) в следующем виде:
На рис. 7.3 показаны график функции 0 (є)/(и — є) и возможный вид интегральной кривой уравнения (7.14). При є « є0
Исследуем уравнение (7.14) вблизи особой точки є = є0, rj = 0. Ищем решение в виде ц = А (е — е0). Предполагая х/е0 1, получаем
Легко видеть, что особая точка є = є0, r\ = 0 является седлом, так как корни характеристического уравнения имеют разные знаки [14], причем искомое решение соответствует корню (7.15). Решение в ^-пространстве имеет вид
