Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ФIo- = ФI0+; d<P/d%\o-= dyldl\Q+.
Второе из условий (7.30) легко получить, интегрируя (7.21) вблизи | = 0. Таким образом, имеем пять условий для определе-
207
(7.30)
ния пяти величин: и, A1, A2, A3 и <р_. Подставляя найденные решения (7.24) — (7.29) в условия сшивки (7.30), получаем
А + A2
A1 +A2 -A3;
1 \ , ье (Е+-Е-) De
be (Е + —Е_)'
L3
L3
171+
Dp
A4~V+A>
AlI-^--Ll--2-+L*) +
LI
13
h
L±
h
+
= 0; = 0;
L\ =
Ф-
Ane
A1
Li
-L1 +
LI
h
-L3
-L3 j +
_ E--E+ 4ле
(7.31)
(7.32)
(7.33)
(7.34)
(7.35)
Из уравнений (7.32) и (7.33) можно получить условие разре-
шимости этих уравнении:
I , 1 \ , Ье(Е+-Е.)
1
1
De
Ье(Е+~
Dr
кг
Lz
h
Lz
h
(7.36)
Легко видеть, что при
u = beE+ + 2Y DebeE+a(E+)
равенство (7.36) удовлетворяется тождественно, так как при этом L1 = L2*. Это подтверждает предположение, что полученная формула для скорости стримера справедлива без использования условия y^>1. После этого из системы уравнений (7.31), (7.34),
(7.35) можно определить A19 A2f A3 и ф_.
Рассмотрим теперь задачу об устойчивости фронта стримера. Пусть возмущенное решение зависит от l = z — ut, t и у по заколу ехр (—ІС0Ґ + iky) • f (I). Устойчивость по отношению к одномерным возмущениям, не зависящим от у, можно исследовать методом, использрванным Г. И. Баренблаттом и Я. Б. Зельдовичем в задаче об устойчивости фронта пламени [17]. Однако более интересе^ случай двумерных возмущений. Обозначая возмущенные величины
¦Условие (7.36) означает, что в строгом смысле вместо решения (7.24) следовало бы писать сразу Ne ~ а ехр ( — ^/L1) + b% ехр ( — x/L2), так как L1 = L2. Однако такое решение получается автоматически после корректного предельного перехода L1 L2 в окончательных формулах.
208
штрихом, получаем систему уравнений, обобщающую уравнения (7.21) — (7.23):
De^ + ^(u-beE±) +
+ Ne [m — Dek2 + a (Ezb) be E±— I/т] = 0; (7.37)
ud^L + iwNl + N'e [oc (E±) beE±_-f] = 0; (7.38)
---ft2 ф' = —Але (NI — Ne). (7.39)
Возмущения предполагаются убывающими на ±°о, и асимптотики поля E (+оо) = Е+, E (—оо) = E- остаются прежними. В невозмущенной задаче решения для і > 0 и ? <С 0 сшивались на фронте 1 = 0. Теперь сшивку следует производить на возмущенной границе
1' = Л'ехр (—ico/ + iky). (7.40)
Решая систему уравнений (7.37) — (7.39), получаем:
Ne = A'1exp(—l/‘k+ + iky—iat) (при ?>0); (7.41)
Ne = л;ехр(—l/X_ + iky— mt) (при I < 0); (7.42)
Nl=^t- . -А\ ¦ ¦ exp(-gA+ + ifet/-ia)0 (при |>0); (7.43)
I1 1 —ICOA+IU
Ni = —г~ • • ; exp(|А_-j-iky—і at) (при |<0); (7.44)
І з 1+1 COA-Iu
ф' — Al exp (—k?,-\-iky—і at)--------------------------IneA1 /j-Л+-\
т 2 я ’ ft2—ІД+ I, Z1 (I —і(оХ+/и) }
X exp (—і ky і at) (при I > 0); (7.45)
w' = A'.exp (k\-\-\ky—і at)-------4пеАз—/j-----------------\ x
^ 4 ь-r у і Mt-IlkL { /3(і+іоЖ_/в)/
Здесь
X exp (?Д_ + і ky— і co^) (при ?<0). (7.46)
I _ j fbeE+ «(?+) . -j Г ft2 і to .
Ч V De ^ V 2 De'
I и—6gE_ ,
2We
, j f /u—beE-\2 , 1/т—a(E~)beE_+Dek*— ia>
+ V Г^БГ + 2De
209
Условия сшивки имеют вид:
Ne ||' + Ne |о = Ne 11' + Ne I
De
дК
д\
V
+ (и—ЬеЕ_)№е
+ Dc
dN'
д\
+ (и— beE_) X
XNe
= Dp X
W
д№е
д% dN'е
dl
1'
+ (U-beE+)№
I'
+ De X
+ (и-ЬеЕ+) Ne
V +Ni I о =JWI j*+ M I о+
Ф01б'+Ф'|о =ф°1б+'+ф'
+ .
О »
д<р° I дФ' ~ дф° + 1 дф'
dl I 6' dl о dl I S' dl
(7.47)
В условиях (7.47) индексом «О» обозначены невозмущенные решения (7.24) — (7.29), которые берутся при I = В результате имеем пять условий для определения пяти величин: А', А[, Л 2, Лз, Aa. Подставляя уравнения (7.24) — (7.29) и (7.41) — (7.46) в (7.47) с учетом (7.40), после упрощений получаем условие существования ненулевого решения для линейной системы, следующей из (7.47):
it
Ье (?+—?_)
X-
De
¦)
1+
I
[¦r(-
h
¦ +
+
I
L3
(тг-t)
+
be (E+-E.) DeLl
к- = L3
(7*48)
При k = 0, со = 0, к+ = L1 = L2, к_ = L3 условие (7.48) превращается в (7.36). Выражение (7.48) играет роль дисперсионного уравнения, с помощью которого находим со (k) и выясняем вопрос об устойчивости.
Рассмотрим условие (7.48) в длинноволновом пределе kL 1.
После простых вычислений можно получить
О) « —іDek2 + О Ок*). (7.49)
Таким образом, в рассматриваемом случае фронт оказывается устойчивым к бесконечно малым возмущениям. (В случае kL 1 решение также оказывается устойчивым.) Выражение (7.49) физически означает, что искривления фронта восстанавливаются благодаря диффузии частиц из ионизованной области.
Как было показано в разд. 6.6, в приближении бесконечно тонкого переднего фронта
со = ik (duldE)0E+. (7.50)
В отличие от (7.49) из (7.50) следует, что бесконечно тонкий фронт
210
неустойчив с инкрементом у ж ku. Аналогичная картина имеется в задаче об устойчивости фронта пламени. Как показано Л. Д. Ландау [18], пламя, рассматриваемое как поверхность разрыва, неустойчиво с инкрементом ~ku. В то же время учет конечной ширины фронта, сделанный Г. И. Баренблаттом, Я. Б. Зельдовичем и А. Г. Истратовым в работе [19], показал, что благодаря теплопроводности (в пренебрежении диффузией горючего) фронт устойчив, к бесконечно малым возмущениям.
