Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
w = \-^ + w°5l,+ ^) = ^ + ^r' (ЮЛЗ)
где угловые скобки означают усреднение по периоду волны; линейное по
амплитуде возмущения слагаемое при таком усреднении зануляется.
Из уравнения сохранения энергии
dW / д (Pov2 , c2s5p2\\
dt \ dt \ 2 2р0
= + ^p{-p0dwv)^ = - (div (vSp)) (10.14)
получаем выражение для плотности потока энергии звуковой волны:
S = (v Sp). (10.15)
В плоской монохроматической волне
2.11. Поверхности разрыва
87
откуда (при со = кс3)
W=(p0v2), S = csW§. (10.18)
гь
Как и можно было ожидать, энергия бежит со скоростью звука в направлении
вектора к.
Для импульса волны имеем
Р = 5(р0) = (Spv) = = ZkW- (1019)
Соотношение между энергией и импульсом волны оказывается таким же, как и
в электродинамике сплошных сред. Отсюда, в частности, следует, что
звуковую волну можно представлять как совокупность квантов с энергией Нсо
и импульсом Нк.
Коэффициент пропорциональности между потоками энергии и импульса,
очевидно, будет таким же, что позволяет по аналогии с (10.19) выписать
плотность потока импульса звуковой волны:
Пгк = ^Sk = ^- ^csW = ^W. (10.20)
2.11. Поверхности разрыва
В принципе, гидродинамикой допускаются разрывные решения, при которых
характеризующие жидкость величины (плотность, давление или скорость)
меняются скачком. Однако потоки вещества, импульса и энергии через
поверхность разрыва должны быть непрерывными. В идеальной гидродинамике
эти условия непрерывности принимают вид
{pvx} = О, (11.1)
{p + pvl}= 0, (11.2)
{pvxvt} = 0, (11.3)
"2
PV ре) +pvx = \pvx ( ^ =0. (U.4)
88
Глава 2
где ось х перпендикулярна поверхности разрыва, щ - тангенциальная
компонента скорости, w - энтальпия единицы массы; фигурные скобки
означают скачок величины при переходе через разрыв. Из уравнений (11.1)-
(11.4) имеем:
если pvx = 0, то {р} = 0; (П-5)
если pvx ф 0, то {vt} = 0. (П-6)
Поверхности разрыва классифицируются в зависимости от того, какая
величина терпит разрыв:
тангенциальный разрыв: pvx = 0,
контактный разрыв: pvx = 0,
ударная волна: pvx ф 0,
{р} = 0, {щ} ф 0,
М = 0, {р} ф 0,
{р} ф 0, {щ} = 0.
2.12. Ударная адиабата
Найдем, как соотносятся между собой давления и плотности с разных сторон
ударной волны. Будем работать в системе отсчета, в которой разрыв
покоится, щ = 0 и vx > 0 (рис. 27, а). Без ограничения общности
поверхность разрыва можно считать плоской. Из уравнений (11.1)-(11.4) в
нашем случае сле-
Pi
Pi
а
pvx > 0
Р2
Р2
Рис. 27. Геометрия задачи (а); ударная адиабата для двухатомного газа
(б).
2.12. Ударная адиабата
89
дует
PlVl = P2V2 (v = vx), Pi + PlVl =P2+ P2V2,
(12.1)
(12.2)
(12.3)
Введем объём единицы массы V = 1/р и поток вещества через разрыв j = pv.
Из (12.2) имеем
Из этого неравенства и требования возрастания энтропии (формула (12.13))
следует, что в ударной волне
т. е. вещество всегда переходит из области меньшего давления в область
большего и сжимается при этом. Подставляя (12.4) в (12.3), получаем
Уравнение (12.6) называется ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио.
Вместе с уравнением состояния вещества оно позволяет при заданных
параметрах газа в одной области найти зависимость p(V) в другой.
Для дальнейшего продвижения нужно конкретизировать уравнение состояния
вещества. Наиболее практически важным является случай идеального газа с
энтальпией
Pi-P2= P2v\ - piv\ = j2(V2 - 1ф),
(12.4)
P2 > Pi, V2 < Vi,
(12.5)
W 2 - w 1
w 2 - Wi
(P2 ~Pl){Vi + v2)
2
(12.6)
7
w =------- pV + const.
7-1
(12.7)
90
Глава 2
После арифметических преобразований уравнения (12.6) 2-/{p2V2 -piVi) =
(7- 1){р2 -pi)(Vi + V2),
V2(2'fp2 + (7- l)(pi -p2)) = Vi(27Pi + (7- l)(p2 -Pi)), ударная адиабата
для идеального газа принимает вид
V2 = (7 - 1>2 + (7 + l)pi = Аг (12 g.
Vl (7 + 1)р2 + (7 - l)pi А2 '
где
Hi = (7 - 1)р2 + (7+ l)pi, (12.9)
И2 = (7 + 1)Р2 + (7 - !)й- (12.10)
При заданных y>i и V\ зависимость p2(V2) представляет собой гиперболу со
смещенными относительно осей асимптотиками (рис. 27, б).
Интересно найти изменение энтропии газа при его прохождении через фронт
ударной волны (энтропия не сохраняется даже в модели идеального газа).
Для идеального газа имеем
s = cv In{pV1) + const, (12.11)
где cv - теплоемкость единицы массы при постоянном объёме. Поскольку
1 ds2 1 д In V2 1 9 In Hi 91nH2 110 1 n\
^ = ^ + 7^Г = ^ + 7^Г~7^Г' (Ш2)
получаем
J_d?2 = J_ 7(7 - 1) _ 7(7 + 1) = (72 - 1)(Р2 -Pi)2 CV dp2 Р2 Hi
Н2 Р2Н1Н2
(12.13)
Итак, вторым законом термодинамики разрешены только ударные волны с р2 >
pi, причём увеличение энтропии тем больше, чем больше разность давлений
на разрыве.
Важной характеристикой ударной волны является скорость её движения в
неподвижном газе, т. е. в нашей системе
2.12. Ударная адиабата
91
отсчета - скорость гц. Найдем её. Для этого воспользуемся
(12.8) и (12.4):
V2-V1 = Аг -А2 = 2(р! -р2)
Vi А2 (7 + 1)р2 + (7 - 1)р\
,2 _ pi - р2 _ (7 + 1)^2 + (7 -3 ~ V2 - Hi " 2 Hi
откуда
2 -2Тл2 тг Л , (7+ !)(Р2 ~Pl)\
Vi=3 К = 7PiH^l + 2tpi J-
Сумма, стоящая в скобке, всегда больше единицы.
