Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лотов К.В. -> "Физика сплошных сред" -> 17

Физика сплошных сред - Лотов К.В.

Лотов К.В. Физика сплошных сред — Москва, 2002. — 144 c.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка): fizikasploshnihsred2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 32 >> Следующая

(4.4)
откуда
^ = /V(-W + 5r)d1+ ) =0. (4.5)
Теорема доказана.
72 Глава 2
2.5. Потенциальное течение
Потенциальным (или безвихревым) называется течение, в котором rot" = 0.
Если в начальный момент времени течение было потенциальным, то и в
дальнейшем оно останется потенциальным. Это следует из теоремы Томсона,
примененной к контуру, ограничивающему бесконечно малую площадку dS:
j) vdl = rot v dS = const. (5.1)
Потенциальность течения, однако, нарушается на линиях тока, проходящих
вблизи твердых тел (рис. 22). Теорема Томсона для таких линий тока не
работает, поскольку их нельзя охватить жидким контуром.
Рис. 22. Явление отрыва струй и линии тока, на которых нарушается
потенциальность течения.
Скорость потенциально движущейся жидкости можно представить в виде
v = Vyy (5.2)
где скалярная величина <р называется потенциалом скорости.
Часто потенциальное течение можно считать также и несжимаемым. В этом
случае уравнения идеальной гидродинамики получаются особенно простыми.
Уравнение непрерывности переходит в уравнение
div = Aip = 0,
(5.3)
2.6. Потенциальное обтекание тела
73
а уравнение Эйлера по аналогии с (3.3) принимает вид
dv dVcp v2 р /с /i\
s = ^r + vT = -vP + vw- (54)
откуда
Ж + Т + $-9г = т, (5.5)
где /(f) - некая функция времени. Поскольку замена
<р -> ^ + J fit) dt (5.6)
не влияет на скорость течения, без ограничения общности можно считать
/(f) константой.
2.6. Потенциальное обтекание тела
Рассмотрим задачу о потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью
твердого тела. В общем случае обтекание тела не является потенциальным
из-за явления отрыва струй (рис. 22), когда линии тока отделяются от
поверхности тела и уходят вглубь жидкости. Но в случае тел особой
"обтекаемой" формы картина течения мало отличается от потенциальной.
Рис. 23. Геометрия задачи о потенциальном обтекании тела.
74
Глава 2
Пусть жидкость вдали от тела покоится, а само тело движется поступательно
со скоростью и (рис. 23). Движение жидкости определяется уравнением
Лапласа Aip = 0 с граничными условиями
Ч> >0, (6.1)
V->оо
д(р . ,
ипо = vno = -д- на поверхности тела, (6.2)
дпо
где вектор г отсчитывается от какой-либо точки внутри тела, а по -
нормаль к поверхности тела. Общее решения уравнения Лапласа, обращающееся
в нуль на бесконечности, имеет вид
ip_-+AV- + blk-(6.3)
Бесконечного ряда коэффициентов a, A, bik, ¦ ¦ • здесь достаточно, чтобы
удовлетворить условию (6.2) на поверхности любого "обтекаемого" тела.
Характер движения жидкости вблизи тела существенно зависит от его формы.
На больших же расстояниях все определяется первыми членами ряда (6.3),
которые медленнее всего убывают с ростом г:
Y7 ar viAr ап , 3(Ап)п - А _ у v = Vip = - V- = Н----------
---, п = -. (6.4)
Если объём тела Vo неизменен, то а = 0, поскольку суммарный поток
жидкости через сферу большого радиуса должен равняться нулю. Таким
образом, поле скоростей вдали от тела определяется вектором А. Из
линейности уравнения Лапласа и гранусловий к нему следует, что v ос и.
Поэтому
Ai = Q-ikUk, (6.5)
где aik - постоянный тензор, зависящий от формы и ориентации тела.
Найдем полную кинетическую энергию жидкости Е. Для этого, чтобы избежать
математических трудностей, найдем
2.6. Потенциальное обтекание тела 75
энергию жидкости внутри сферы радиуса R и устремим R к бесконечности. В
силу тождества
div ((ср + ur)(v - и)) =
= (v - u)V((p + иг) + (ip + иг) div (v - и) = (v + u)(v - и) имеем
E=Z J v2dV=| J (и2 + (v + u)(v - u)) dV =
V-Vo V-Vo
= ^-(V-V0) + ^ j div((if + ur)(v-u))dV =
V-Vo
= ^r(v -yo) + | f (p + uf)(v-u)dS, (6.6) s,s0
где в последнем слагаемом интегрирование ведется по поверхностям сферы S
и тела So. Интеграл по поверхности тела за-нуляется в силу условия (6.2):
(v - и) dS = (ипо - vno) dS = 0, (6.7)
а в интеграле по большой сфере достаточно оставить только первые
ненулевые члены в выражениях для скорости и потенциала. Вводя элемент
телесного угла dCl, преобразуем этот интеграл:
/ = / (-# + й^) АГЙ-
= J + R(un)"j (фф - uHJ R2 dQ и ~ J R3(un)2 + 3(Ап)(ип)^ dCl =
= (-RzUiUk + 3AiUk) / щпк dfl. (6.8)
76 Глава 2
Интегрирование по dSl эквивалентно усреднению подынтегрального выражения
по всем направлениям вектора п и умножению затем на 47т:
J щпк dQ = ^гк , (6.9)
откуда
Е = -Vo) + ^ (-R3u2 + 3(Tu)) . (6.10)
Большие слагаемые в (6.10) сокращаются, и мы получаем
Е=? (AituA- 1W) = m^Uk, (6.11)
где тензор называется тензором присоединенных масс:
тгк = 4лтрагк - pV0Sik. (6.12)
Очевидно, он симметричен (энергия (6.11) не меняется при перестановке
индексов).
Чтобы определить импульс Р движущейся жидкости, заметим, что изменения
энергии dE и импульса dP связаны соотношением
dE = Fdl = Fudt = udP, (6.13)
где F - полная сила, действующая на жидкость со стороны тела, a dl -
смещение тела за время dt. Следовательно,
in 7 у-? kn.ikdUiV,k UlikUiduk ,
щ dPi = dE = ------------ 1--------- = mikUiduk,
Pi = mlkuk, P = -pV0u + 4npA. (6.14)
Со стороны жидкости на тело действует сила Ft:
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 32 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed