Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
вязкости (этот раздел) и малой нелинейности волны (раздел 2.14) изменится
только коэффициент перед dv/dx:
дt+u(u)i5 = l'eff0' u = v + c(15Л6)
При слабой диссипации производная du/dv ~ const; домноже-нием (15.16) на
неё получаем уравнение Бюргерса:
ди , ди д2и /1 с 1
т+ид~х=РерЪР2' (ЬЛ7)
Это уравнение есть обобщение уравнения Хопфа (14.11). Им описывается как
нелинейное искажение профиля волны, так и
2.15. Слабая ударная волна
101
и
C.S0 + $и
cs о
X - cs0t
cs о
Рис. 33. Решение уравнения Бюргерса в области ударной волны.
поведение жидкости в области ударной волны после момента опрокидывания.
Вблизи ударной волны решение уравнения Бюргерса можно искать в виде
где 8и характеризует различие величины и с двух сторон ударной волны
(рис. 33).
В газах vey ~ csА, где Л - длина свободного пробега. Отсюда можно оценить
ширину ударной волны:
Таким образом, чем слабее ударная волна, тем её фронт шире. Из (15.20)
также следует, что гидродинамическое описание внутренней структуры
применимо только к слабым ударным волнам, в которых скачок скорости газа
намного меньше скорости звука.
Вязкость - не единственный эффект, способный остановить нелинейное
укручение фронта волны. Нелинейное укру-чение фронта может быть также
скомпенсировано дисперсионным расплыванием волнового пакета. В этом
случае профиль волны описывается другим известным уравнением
математической физики - уравнением Кортевега - де Вриза.
и = и(х - Csot).
(15.18)
Оно оказывается таким:
(15.19)
ueft cs ^ ^
АХ ~ ~ - Л " Л.
OU 0U
8и
(15.20)
102
Глава 2
2.16. Закон подобия
Пусть и и L характерные скорость и пространственный масштаб некоторого
стационарного течения (рис.34). Если жидкость несжимаемая, а
кинематическая вязкость v = const, то движение жидкости описывается
уравнениями (1.12) и (8.9). В безразмерных переменных
r' = f "'=|, t'=f, ^ = -2 (16.1)
L а L ри2
эти уравнения принимают вид
div'u' = 0, Щ- + [v'V)v' = -Vp' + ^-?Lv' (16.2)
dt Lu
(штрихи у операторов означают дифференцирование по безразмерным
координатам). Решение системы (16.2) полностью определяется геометрией
задачи и безразмерным параметром
Re=4r, (16-3)
называемым числом Рейнольдса. Таким образом, течения одинакового типа с
одинаковым числом Рейнольдса подобны (закон подобия).
Рис. 34. Примеры характерных параметров течения.
В случае более сложного движения жидкости (нестационарного, в поле
тяжести и т. п.) тип решения определяется большим числом безразмерных
параметров, тоже имеющих свои названия.
2.17. Турбулентность
103
Законы подобия полезны тем, что позволяют применять результаты измерений
над маленькими моделями к настоящим объектам при условии одинаковости
безразмерных параметров.
2.17. Турбулентность
Гидродинамическая турбулентность - это явление, наблюдаемое во многих
течениях, при котором в жидкости образуются многочисленные вихри
различных размеров и течение становится нерегулярным. Вихри влияют на
свойства течения в целом: меняется сила сопротивления, способность
переносить частицы и т. п.
Теория турбулентности сложна и далека от завершения. Из-за нерегулярности
турбулентных движений приходится пользоваться статистическим описанием
жидкости и даже получать результаты из соображений размерности.
Будем считать жидкость несжимаемой. Тогда характер течения (в частности,
турбулентное оно или нет) будет определяться только числом Рейнольдса. В
уравнении движения жидкости
H + +vAv (17.1)
за возникновение вихрей и усложнение течения отвечает слагаемое (wV)w.
Действительно, если бы его не было, то из (17.1) следовало бы уравнение
dJ9tv=u Arotv (17.2)
at
для завихренности, исключающее генерацию и нарастание в жидкости
случайных вихрей. Поскольку
("V)"l uL т, П7оч
- = Re, (17.3)
\vAv\
турбулентность будет появляться при больших числах Рейнольдса.
Механизм возникновения турбулентности при увеличении Re может быть разным
в различных системах. Один из возможных вариантов такой (сценарий Ландау
- Хопфа). При
104
Глава 2
превышении числом Рейнольдса некоторого критического значения ReKp
"гладкое" (ламинарное) решение уравнения (17.1) становится неустойчивым.
Это значит, что малое периодическое возмущение ламинарного течения быстро
нарастает со временем и движение жидкости становится почти периодическим.
При увеличении Re это периодическое движение тоже становится
неустойчивым, т. е. на него накладывается почти периодическое возмущение
с каким-то другим периодом. При дальнейшем увеличении Re у движения
жидкости появляются все новые периоды и течение приобретает сложный и
запутанный характер.
Интересно отметить, что безразмерная величина ReKp может быть очень
большой (до 50 ООО в трубах с плавным входом).
Турбулентное течение можно представить как результат наложения движений
(турбулентных пульсаций) различных масштабов (рис. 35). Самые
крупномасштабные пульсации (основной или внешний масштаб турбулентности)
имеют характерный размер порядка масштаба течения L, а скорость в них -
