Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
выходе. Поэтому сверхзвуковое течение, описываемое нашей моделью,
возможно только при определенном значении ра = Р2{ро7 Ро)- Такое течение
называется расчетным. Если ра < pi и ра ф Р2, то реализуется нерасчетный
режим истечения: в сопле появляются ударные волны и течение газа
перестает быть одномерным и изэнтропическим.
2.14. Простые волны
Простая волна - это одномерная звуковая волна конечной (не малой)
амплитуды. Найдем закон движения такой волны.
В одномерном случае уравнения идеальной жидкости (1.1) и (1.8) имеют вид
96
Глава 2
течение мы считаем изэнтропическим:
s = const, р=р(р). (14.2)
Предположим, что между давлением, плотностью и скоростью жидкости есть
взаимооднозначное соответствие:
p = p(v), р = р(у). (14.3)
Тогда уравнения (14.1) принимают вид
/dv , dv /dv n r dp , .
p at + pai + vp si = °' p=dЛ (14-4)
dv , dv cs dp c2 qv
at +vai = -pai = -Jl'ai <l4-5)
ИЛИ
|+("+я|=0' (146)
<14'7"
Эта система имеет решение при условии
4 = %г или 4= (14-8)
Р г Р
Заметим, что в обычной звуковой волне связь (10.17) между плотностью и
скоростью жидкости такая же:
4=Pof = ±cs. (14.9)
Р ор
Подстановка (14.8) в (14.6) даёт
§ + (,±СгД))|=0. (НЛО)
Это уравнение сводится к известному уравнению Хопфа
Щ± + и^=0, u = v±c8{v) (14.11)
at ox
путем домножения на du/dv.
2.14. Простые волны
97
Для решения (14.11) нужно конкретизировать зависимость cs(v). В случае
идеального газа из (13.4) находим
1 dc2s = у - 1 dp = 7- 1 dc3 = 7-1 с2 dv Р dv cs ' cfo 2 '
4s
Л/ - 1 Л/ -\- 1
cs{v) = cs0 ± V, u(v) = - v i с5о? (14.12)
где cso - скорость звука в невозмущенном (v = 0) газе.
Рис. 32. Эволюция простой волны, бегущей в направлении х.
Решение уравнения Хопфа характеризуется тем, что каждая точка профиля
волны движется со скоростью и. Как следствие, профиль волны искажается
(рис. 32). В некоторый момент времени наступает опрокидывание волны (рис.
32, в), т. е. в некоторых точках производные dv/dx, dp/dx и dp/dx
обращаются в бесконечность. Физически опрокидывание простой волны
означает появление разрывов (ударных волн) и нарушение предположения об
изэнтропичности движения (рис. 32, г). После образования ударных волн
возмущение постепенно затухает, так как в системе появляется диссипация.
Отметим, что искажение профиля гармонической волны можно также
интерпретировать как результат нелинейного трехволнового взаимодействия,
при котором наряду с волной (к, и>) в спектре появляются высшие гармоники
(пк,пи>).
98
Глава 2
2.15. Слабая ударная волна
Чтобы проследить эволюцию волны после опрокидывания, необходимо учесть
диссипативные процессы. Аналитически это удается сделать только в случае
слабой диссипации и малой амплитуды волны:
г/, (, к - малы, v < cs0, 5р < ро- (15.1)
Таким образом, в задаче появляются два сорта малых параметров.
Движение вязкой жидкости описывается уравнениями (1.1), (8.8) и (9.3),
которые в одномерном случае принимают вид
<¦">
dv - -ц 1&2L -ц I (Г1 -ц Л &2L
dt Рдх + Рдх2 Р Vs ) дх2' ( ' }
rpds dv I d T /1 г л \
= + <1М)
поскольку в волне изменение термодинамических параметров
жидкости мало, коэффициенты г], ? и к можно считать кон-
стантами.
Линеаризуем уравнения (15.2)-(15.4), используя малость амплитуды волны:
д$Р | dv _ {л с гч
~dt+Pofa-°' (15-5)
dv = ]_dSp j_ /4т? \ 92^ ^_)_ (<НЛ ^Р.
dt~ Ро дх Ро V 3 + У дх2 ~ Ро\др)s дх "
1 (др\ d5s , 1 У4г/ Л g2v
Ро [dsjp дх + Ро { 3 +CJ дх2' ( }
dSs = х д25Т dt роТо дх2
(15.7)
2.15. Слабая ударная волна
99
Затем сведем эту систему к одному уравнению. Для этого продифференцируем
(15.6) по времени и воспользуемся (15.5) и
(15.7):
~2г> cl д ( dv\ , 1 , Л d3v
dt2 Ро дх 1, Родх) + Ро\3 +CJ дх2 dt 1 f9р\ д ( к д25Т
Ро \dslndx \р0Т0 дх2
2&2v . 1 / Л gov
- св + рр: "5" + С
дх2 Ро V 3 J dx2dt
f).*+(*)/*)¦ <1И)
Содержащее 5s слагаемое здесь имеет второй порядок по малости диссипации,
потому его можно опустить:
д , д \ (д д . _
dt sdx)\dt Csdx)V
1 (4у Л д3у х (9р\ [дт\ д^р Г1еоч
Ро V 3 + V dx2dt р2Т0 \dsJv\dp )s дх3 ' 1 ^
Термодинамические производные в (15.9) с помощью стандартной техники
преобразования якобианов выражаются через теплоемкости:
(9Т\ - d(j)V) d(Ts^ d(pV^
ds )y \dp Jg d(sV) dips) d(Ts
_ d(pV) d{Ts) ( d(ps) d(VT) d(sV) d(ps) y9(Ts) d(sT)
d(TV) d(pT) ^
= m ~ -ту-р = T , (15.10)
d(sV) d(ps
где мы использовали равенства
100 Глава 2
Уравнение (15.9) описывает обыкновенную звуковую волну, которая бежит со
скоростью звука и медленно меняется из-за малой диссипации. Будем
считать, что волна бежит в направлении х, тогда в ней
д д д д г, д г 2 г л с 1о\
"""'¦a? at-c-aia2Wv "к я*." О5-'2"
(для неизменного профиля волны равенства были бы точными). Тогда
уравнение (15.9) принимает вид
( dv dv dt \dt s дх
1 fAri Л d3" x ( 1 1 \ d3Pocsv nc,,N
P° V 3 J dx2dt p20cs\c- cp) 8x2dt 1 ' '
или, после интегрирования по времени,
dv , dv d2v (л r i a\
= (15л4)
1 (Щ л -С")^ лк 1К4
^~2^Т+С + срс" J- (15Л5)
Поскольку малые эффекты аддитивно складываются, при одновременном учете
