Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
порядка средней скорости потока и. На крупномасштабные пульсации
накладываются пульсации меньших масштабов (Л). Изменение скорости
жидкости на этих масштабах v\ <С и. Можно также ввести число Рейнольдса
для этих масштабов:
Rex = -jr, причем Re > Rex > ReKp . (17.4)
Наименьший масштаб пульсаций (Ао), для которого число Рейнольдса Reo ~
ReKp, называют внутренним масштабом турбулентности. На этом масштабе
вязкость становится существенной и происходит диссипация энергии.
Вихри меньших масштабов появляются в результате неустойчивости вихрей
больших масштабов. Следовательно, в жидкости есть постоянный поток
энергии от крупномасштабных к мелкомасштабным пульсациям. Энергия из
масштабов А ~ L (область энергии) через промежуточные масштабы
(инерционный интервал) идет в масштабы А ~ Ао (область диссипации) и
переходит там в тепло (рис. 35). Очевидно, при
2.17. Турбулентность
105
L
'V,1 •
L. и, № )ftK
я я f4 я ? * 4 <D
ю и
О ?Г)
V
A
" • * A' Ai, vxi, 5?ai > ^
кр
-+W<-
ТЩК-
An
i
Ai •} V\i. ft\ /' 7^ ft f-jj
Aq, t>o, 3?о ~ Э?к
дГ
я
&
н
я
я
>я
3
я
я
о
ft
и
Я
я
v
А
я
я
й I
3 §
я я
Ю о О 2
Рис. 35. Внутренняя структура турбулентности.
"стационарной" картине турбулентности в пульсации масштаба Л приходит
такое же количество энергии е (в единицу времени в расчете на единицу
массы), какое и уходит из них. Величину е можно оценить из соображений
размерности. Имеем
- ЭРГ ["? (17.5)
сек • г
Движение жидкости в пульсациях масштаба А >¦ Ао может характеризоваться
только величинами Л, v\ и р (вязкость играет роль только на внутреннем
масштабе). Величину требуемой
106 Глава 2
размерности из них можно составить единственным способом:
V
е ~ -Д. (17.6)
Л
Применяя эту оценку к внешнему масштабу, находим з / \ ^
6-у, vx ~ (ЛеД3 ~и (17.7)
(спектр Колмогорова - Обухова). Несмотря на нестрогий вывод, формула
(17.7) даёт правильную (подтверждаемую экспериментально) связь между
масштабом вихря и величиной пульсационной скорости в нем.
Для внутреннего масштаба имеем
\ \4/3 / \ \ 4/3 Reo = ^ - (Д J Re ~ ReKp, (17.8)
откуда получаем оценку
*о - L • (17.9)
Из (17.7) следует, что в турбулентном потоке диссипация энергии не
зависит от вязкости жидкости. Действительно, при уменьшении вязкости
уменьшается внутренний масштаб турбулентности, что приводит к увеличению
градиентов скорости.
2.18. Логарифмический профиль скоростей
Рассмотрим стационарное турбулентное течение несжимаемой жидкости по
трубе (рис. 36) и найдем, как вблизи стенки ведет себя средняя
(усредненная по времени) скорость потока и = (v).
Пусть на единицу поверхности трубы со стороны жидкости действует в
среднем сила трения а, равная плотности потока ж-компоненты импульса на
стенку. Этот поток импульса
2.18. Логарифмический профиль скоростей
107
У Ж
* *
---------------------------------- . 7/ ^ *
аУ ------------------------------------------------у
| ^ 1' \ I I \ .1 К"" _ _ _ _ ^ ^ _ ~ . . ^
-- х... ¦¦¦--у.. \ ¦
--¦х_________________-у, -¦у?"
-<т 0 Пт
а б
Рис. 36. К нахождению логарифмического профиля скоростей.
обусловлен разностью давления на концах трубы. Характерный поперечный
масштаб изменения Иху равен ширине трубы, поэтому вблизи стенки можно
считать |ПЖ2/| " const = <т (серые участки на рис. 36).
Средний поток импульса есть некоторая функция от градиента средней
скорости du/dy, плотности жидкости р и расстояния до стенки у. Он не
может напрямую зависеть ни от вязкости v (при условии у Ао), ни от
абсолютного значения скорости и. Но из du/dy, р и у можно построить
величину требуемой размерности единственным способом, откуда получаем
оценку
du
|П.
ху I
РУ
dy
(18.1)
Обращая эту формулу вблизи стенки, находим
du ^ и*_ - PL
dy~ КУ' V*~\j Р'
(18.2)
где к ~ 1 - численный коэффициент (постоянная Кармана). Интегрирование
(18.2) даёт
и* , у
и аз - In -.
о
к
(18.3)
Чтобы найти постоянную интегрирования С, нужно рассмотреть движение
жидкости на очень малых расстояниях от стенки (У iS Aq), где начинает
играть роль вязкость жидкости.
108
Глава 2
Здесь
и - П Ху
(18.4)
откуда
_ о-у _ vly
11 pv V '
(18.5)
Формулы (18.3) и (18.5) должны переходить друг в друга на границе вязкой
области. Эта граница (у = уо) определяется из условия
Подставляя (18.5) в (18.6), находим
Уо ~ и(у0) ~ "*, откуда С ~ (18.7)
Более точные выражения для С и к можно найти только из эксперимента:
Несмотря на нестрогий вывод, формулы (18.5) и (18.8) весьма точно
описывают поведение средней скорости турбулентного потока вблизи стенки.
2.19. Достаточное условие отсутствия конвекции
При нагревании большинства жидкостей их плотность уменьшается. Поэтому
если температура жидкости неодинакова по объёму и холодные слои
расположены над теплыми, то система может оказаться неустойчивой и
самопроизвольно возникнет движение (конвекция), стремящееся перемешать
жидкость и выровнять её температуру.
Найдем, при каких условиях конвекция энергетически невыгодна. Пусть
