Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
течений. Уравнение (20.4) при этом удовлетво-
114 Глава 2
ряется тождественно, а (2046) и (2047) принимают вид
= (20Л9>
й-''&)Ё = Ш-">зт' (20-21)
Решаем эту систему уравнений последовательным исключением неизвестных.
Дифференцируя (20.20) и (20.21) по г и i соответственно, а затем
складывая их, исключаем р'\
|-Д)Д Ф=-9^- (20.22)
Дифференцируя (20.22) по а; и пользуясь (20.19), исключаем гр:
(20-23)
Поскольку рассматриваемая физическая система однородна по а; и
стационарна, то решение уравнения (20.23) можно искать в виде
Т' ос eXt+lkx. (20.24)
Зависимость же от z в общем случае не будет экспоненциальной. Чтобы её
найти, нужно решить дифференциальное уравнение шестого порядка по z с
надлежащими граничными условиями при z = 0 и z = L:
Т' = 0, (20.25)
vz = -^ = -ikip = 0 =>> ^?= 0: (20.26)
дх v dz2'
в качестве же третьей пары граничных условий можно выбрать либо
vx = О, (20.27)
2.20. Свободная конвекция 115
что соответствует "прилипанию" жидкости, либо
(dvx dvz \ д2гр д4Т' п 95П
""'ЧаГ аУ 'а? ал ' ( '
что соответствует "скользким" границам. Условие (20.27) чаще реализуется
на практике, но условие (20.28) приводит к более простому решению
Т' = Asin^eXt+lkx, п= 1,2,..., (20.29)
±j
поэтому здесь выбираем его. Непосредственной проверкой легко убедиться,
что функция вида (20.29) удовлетворяет условиям (20.25), (20.26) и
(20.28).
Подстановка (20.29) в (20.23) даёт связь между к, А и п:
(А + vb)(\ + ХЪ)Ъ = 9(3к (^° ~ Tl), (20.30)
и ,2 , 7Г2П2 /ОГ\ 01Л
b = -= к + (20.31)
откуда
Ь(и + Х) , . Ь2(и + Х)2 " , д/ЗкЦТо-Тф
А = д ± \ vXb2 + -
ъь
Kv + X) , . b2{v-X)2 , дРк^То-Тг)
=------2 у 4-----+------6Z-----' (2°-32)
Жидкость будет неустойчивой и возникнет конвективное движение, если при
каких-либо кип величина Л окажется положительной. Это возможно при
условии
д[Зк2(Т0 Тг) ^ b2(u + Х)2 b2(u Х? ,2 Ъ1 > ------------4----------4-----
-= Ь "Х (20'33)
или
" Sm-T,)LX ьзЬ' <№ + л,щ " = Щ > - = Щ? ¦ <20'34>
116
Глава 2
Безразмерную величину R называют числом Рэлея. В задаче о
самопроизвольном возникновении конвекции оно играет ту же роль, что и
число Рейнольдса в задаче о турбулентности.
Стоящая в правой части (20.34) безразмерная функция имеет абсолютный
минимум при п = 1, kL = тг/л/2, что даёт следующий критерий возникновения
конвекции:
При выборе граничных условий (20.27) критерий оказывается еще более
жестким:
Интересно отметить, что здесь, как и в задаче о возникновении
турбулентности, реализуется редкая в физике ситуация, когда безразмерные
коэффициенты складываются в большое число.
Как видно из формулы (20.32), на границе между устойчивым и неустойчивым
состояниями d/dt = А = 0, чем и оправдывается пренебрежение производной
по времени в (20.2).
Если число Рэлея лишь ненамного превышает критическое значение, в системе
могут нарастать только возмущения с \к\ и 7г/(Бл/2) и п = 1. В
зависимости от малых эффектов, не учтенных в рамках нашей модели, могут
нарастать либо одна (рис. 39, а), либо сразу несколько неустойчивых мод,
различающихся направлением вектора к (рис. 39, б, в). В экспериментах
чаще всего реализуется гексагональная структура (ячейки Бе-нара, рис. 39,
в).
2.21. Мягкое и жесткое возбуждение конвекции
Определим качественную зависимость установившейся конвекции от
приложенной разности температур. Интенсивность конвективного движения
удобно характеризовать усредненной по объёму кинетической энергией
жидкости
R>RKP = ^ ~ 658.
(20.35)
R> RKp и 1708.
(20.36)
(21.1)
2.21. Мягкое и жесткое возбуждение конвекции 117
И
(c) (r) (c) (c) (c)
h
(c) (c) (c) (r) Ад (c) (c)
^ > X
( М ) ( ^
2^21
а
б
..(c)
к'2
В
Рис. 39. Движение жидкости при слабой конвекции.
Предположим, в жидкости появился слабо надкритический градиент
температуры: 0 < R - RKp <С RKp. Кинетическая
энергия жидкости будет постепенно возрастать:
^ = f(W) = AW + BW2+ CW3 + ..., (21.2)
где f(W) - некоторая функция, которую при малых W можно разложить в ряд
Тейлора. Коэффициенты А, В и С здесь будут зависеть от разности
температур, геометрии задачи и свойств жидкости. При малых v имеем
W ~ I \ °с е2Л* =д А = 2А > 0. (21.3)
Установившееся состояние системы (dW/dt = 0) определяется знаком
коэффициента В. Возможны два случая. Если В < 0, то рост энергии
прекращается, когда первый член ряда (21.2) уравновешивается вторым:
2XW+BW2 = 0 => W = -4?. (21.4)
?>
118
Глава 2
Этот случай соответствует мягкому возбуждению конвекции (рис.40,а), при
котором энергия жидкости увеличивается непрерывно по мере увеличения
разности температур.
Рис. 40. Мягкий (а) и жесткий (б) режимы возбуждения конвекции. Стрелками
показано направление изменения энергии со временем.
Если В > 0, то для нахождения установившегося движения нужно учесть
следующие члены ряда (21.2). Пусть для определенности С < 0. Тогда
равновесная энергия определяется условием
2\W + BW2 + CW3 = 0 =* А = -^р-^. (21.5)
Это - жесткое возбуждение конвекции (рис. 40, б), при котором возмущение
