Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициент ( называют второй вязкостью. Можно показать, что г/ и (
положительны (это следует из закона возрастания энтропии).
С учетом вязкости уравнение движения жидкости (1.3) принимает вид
dva
dt
дттар др
+ Рва - - _
дхр
дхс
Р9а
д
дх/з
dvn
, , --и 2 г dv~f\ ... dvl
Г^дхв дх" 3 ардхд С а0я-
/3
dvp
дхп
дх~,
(8.7)
Коэффициенты rj и (, вообще говоря, зависят от р и р. Но зачастую
изменение этих коэффициентов незначительно и их можно вынести из под
знака дифференцирования:
82
Глава 2
Уравнение (8.8) с д = 0 называется уравнением Навье - Стокса. В
несжимаемой жидкости оно принимает вид
§ = -^ + иЫ, (8.9)
где коэффициент v = р/р называют кинематической вязкостью.
2.9. Уравнение теплопереноса
Пусть на жидкость не действуют внешние силы (д = 0) и жидкость не
нагревается внешними источниками тепла. Тогда, при наличии диссипативных
процессов, уравнение баланса энергии принимает вид
д (Ру2 А т\^Г + р?)
d v2 , \ дТ
дха № 2+? +VaP~aapVp~Xdx0
¦ (9.1)
Здесь е - внутренняя энергия единицы массы, Т - температура, х -
теплопроводность жидкости. Слагаемые в круглых скобках (в левой части
уравнения) представляют собой полную энергию (кинетическую и внутреннюю)
единицы объёма. Слагаемые в квадратных скобках суть поток энергии,
который складывается из конвективного переноса энергии вместе с жидкостью
(первое слагаемое), работы внутренних сил (второе и третье слагаемые) и
теплопроводности (четвертое слагаемое).
Выражение для работы внутренних сил требует пояснений. Пусть на объём dV
через элемент его поверхности dS действует сила dF. В единицу времени
внутренние силы совершают над объёмом работу
А = J vdF = J vpdFp = - J V(3TrpadSa = = J vp(pSap ~ crap) dSa = J{vap -
aapvp) dSa, (9.2)
откуда и следует выписанное выше выражение.
2.9. Уравнение теплопереноса
83
С помощью уравнений непрерывности (1.1) и движения
(1.3) можно из (9.1) исключить кинетическую энергию и получить уравнение
теплопереноса:
Здесь в левой части стоит количество теплоты, полученной единицей объёма
в единицу времени, а справа - теплота, выделившаяся вследствие вязкой
диссипации или пришедшая из соседних слоев жидкости в результате
теплопереноса.
Строгий вывод (9.3) довольно громоздок, но его основные моменты можно
понять из следующих соображеий. Все слагаемые, не содержащие сгар и х,
путем сложных преобразований группируются в левую часть (9.3), так что в
идеальной жидкости (9.1) переходит в уравнение адиабатичности
Слагаемые с сгар и к просто переписываются из правой части (9.1) в правую
часть (9.3). Кроме того, в процессе исключения из (9.1) производной
d(pv2)/dt используется уравнение движения
вследствие чего в правой части (9.3) дополнительно появляется слагаемое -
vad<jap/dxp, которое даёт
(9.3)
(9.4)
(9.6)
Если жидкость можно считать несжимаемой, а коэффициенты г/ и х -
константами, то уравнение теплопроводности существенно упрощается.
Поскольку
84
Глава 2
имеем
дуа _ (дУд dv/A dv" _ р fdvg дщЛ , ,
°"";3 дхр 71 1 дхр dxa I дхр 2 l дхр дха )
Левую часть (9.3) можно записать в виде
rpds dQ dT . .
рТ& =ри = (99)
где Q - количество теплоты, полученной единицей массы, а ср -
теплоемкость единицы массы. Поскольку при нагревании жидкости обычно
ничто не препятствует её расширению, теплоемкость берется при постоянном
давлении. Итак, уравнение теплопереноса принимает вид
dT _ а гр у (dva dvp А ^ %
dt ~Х + 2ср dxaJ ' Х ~ Рср' ( ^
Величина х называется коэффициентом температуропроводности.
2.10. Звук
Для описания звуковых волн наиболее удобна модель идеальной сжимаемой
жидкости.
Пусть в однородной жидкости есть малое возмущение. Будем обозначать
невозмущенные величины индексом 0, а их возмущения - буквой 5:
Р = Ро + dp, р = ро + 6р, s = so + Ss, v = 6v, (Ю.1)
Ро = const, ро = const, so = const.
Уравнения идеальной жидкости (1.1), (1.8) и (1.9) после линеаризации (т.
е. выбрасывания квадратичных по амплитуде
2.10. Звук 85
возмущения слагаемых) принимают вид
-ттг + Podiv v = 0, (10.2)
dt
др = VSp dt Ро ' d5s
(10.3)
a* °- (10-4)
В силу (10.4) имеем
Sp=(^,)/p+(^)/'-ciSp- (ia5)
так что система (10.2), (10.3) сводится к волновому уравнению:
d2Sp Qv
- = -Podw- = PodwV-,
d25p
dt2
- c2A5p = 0. (Ю.6)
Очевидно, такие же уравнения получаются для 5р и v.
Решением (10.6) является совокупность плоских волн с различными к и
частотами
со = ±кс8. (10.7)
Найдем энергетические характеристики плоской монохроматической звуковой
волны с заданным волновым вектором к. С точностью до членов второго
порядка малости в присутствии волны энергия единицы объёма жидкости
изменяется на величину
'(?+*)=^+(f)/'+(!?).?¦ ""-8>
Из термодинамического соотношения
de = Т ds - pdV = Т ds + Ц^с1р (10.9)
Р
86
Глава 2
находим
где w - энтальпия единицы массы. Её дифференциал
dw = Т ds + V dp = Т ds + dp, (Ю.11)
откуда
/d2 ре\ _ (dw\ _
V дР2 )s ~ ^dp's ~ Р'
Итак, плотность энергии звуковой волны равна
(10.12)
W P0V2 , г , С^Р2 \ Po(v2) , c2{Sp)2
