Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
предположение о конечной кратности уровня не нужно, и поэтому здесь это
утверждение' справедливо всегда.
Из этого утверждения, конечно, не следует, что у оператора Н с
вероятностью 1 отсутствуют дискретные уровни. Просто эта часть спектра
весьма чувствительна к возмущениям и различна при различных U. Поэтому
вероятность того, что заданная точка попадает в это подвижное множество,
равна нулю.
Из доказанного вытекает также одно простое следствие. Именно, поскольку
выражение (4.18) равно нулю, то <х (0, 0; ?)> = 0. С другой стороны,
согласно (3.6)
Е
<%(0, 0;?)>= lim [ p(E')dE'. е^е ?
Таким образом, правая часть этого соотношения равна нулю, что означает
отсутствие 6-образных особенностей у функции р (Я). В действительности
при рассмотрении конкретных моделей часто оказывается (см. гл. II), что
р(?) является довольно гладкой функцией, так что утверждение об
отсутствии 6-образных особенностей является весьма слабым. Интересно,
однако, что оно вытекает из весьма общих соображений и просто
доказывается.
Глава 11
плотность состояний
В ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
Настоящая глава целиком посвящена одномерным моделям неупорядоченных
систем. Как и в других разделах теоретической физики, в исследовании
одномерных вариантов реальных задач здесь удается продвинуться довольно
далеко. Мы не будем подробно останавливаться на достоинствах и
недостатках одномерных моделей, отсылая читателя к прекрасному обсуждению
этих вопросов в книге [7]. Укажем лишь на одно обстоятельство, которое
является основной причиной того, что одномерные неупорядоченные системы в
одночастичном приближении зачастую допускают возможность точного решения.
Одномерность пространства дает возможность записать для тех или иных
величин, определяющих спектральные свойства, замкнутые динамические (т.
е. верные для отдельной реализации случайного потенциала) уравнения.
Структура этих уравнений всегда такова, что позволяет получать на их
основе другие, неслучайные уравнения (типа Фоккера -Планка или
Смолуховского) для плотности вероятностей соответствующих величин (схема
рассуждений, которые при этом обычно применяются, в своем простейшем
варианте аналогична подходу Ланжевена к теории броуновского движения -
см., например, [12, 80]). Эти уравнения в некоторых случаях удается
решить в замкнутом виде. В тех же случаях, когда это не удается, изучение
динамики системы (т. е. свойств соответствующих случайных уравнений) на
характерных участках спектра позволяет предсказать структуру решений
соответствующих вероятностных уравнений и, исходя из этого, развить
приближенный метод отыскания этих решений.
В качестве еще одного аргумента в пользу интереса к одномерным моделям
приведем здесь следующее высказывание, принадлежащее Дайсону [38]:
"...However, my personal reason for working in one-dimensional problems
is merely that they are fun. A man grows stale if he works all the time
on insoluble, and a trip to the beautiful world of one-dimension will
refresh his imagination better, than a dose of LSD. If Hans Bethe in his
youth had not wasted his time solving the'one-dimensional Heisenberg
model of an antiferromagnet, I doubt whether he would have created the
theory of energy production in stars any sooner..."
54
Перечислим кратко рассмотренные в этой главе вопросы.
В § 5 в простейшем случае одномерной дискретной модели типа (1.6) описан
восходящий к Дайсону [16, 7] метод получения плотности состояний,
основанный на вычислении диагональных элементов функции Грина вне спектра
и на последующем аналитическом продолжении их на спектр. Там же даны
примеры применения этого метода. Формализм, развитый в § 6, учитывает
специфическую для 'одномерного случая важную связь спектра с нулями
решений соответствующих уравнений и позволяет находить плотность
состояний более простым путем, минуя процедуру аналитического
продолжения. Даны точные решения задачи о нахождении плотности состояний
для модели прямоугольных случайных барьеров и подробно исследован случай
точечных рассеивателей (1.16). В § 7 излагаются методы непосредственного
изучения асимптотического поведения плотности состояний в окрестности
истинных границ спектра, также основанные на осцилляционных свойствах
волновых функций. Последний в этой главе § 8 посвящен отысканию плотности
состояний в двухзонной модели одномерной неупорядоченной системы. Эта
задача сводится к исследованию системы уравнений типа Дирака, в которой
случайным является либо величина щели, либо потенциал.
§ 5. Вычисление следа функции Грина
5.1. Формализм. Хотя, как было указано в предисловии, нашим основным
объектом является уравнение Шредингера со случайным потенциалом, мы
начнем с его дискретного аналога, тем более что анализу именно этого
случая были посвящены первые работы по неупорядоченным системам.
Указанное уравнение описывает одномерное движение частицы в приближении
сильной связи или гармонические "колебания одномерной цепочки в
