Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(5.1) при it /^1 и заданного, в отличие от Н, полубесконечной якобиевой
матрицей.
Рассмотрим теперь оператор Н(га), определяемый (5.1) при i, j^m, и введем
его функцию Грина GU). Для величины gm = - G(mm имеет место следующее
тождество:
= (5.6)
которое нетрудно доказать с помощью формул, аналогичных (5.3)-
(5.5), или путем непосредственного вычисления соответствующих матричных
элементов функции Грина G(OT>. Поступая таким же образом с функцией Gl2\t
_i и вводя очевидные обозначения, получим
G00 (Е) = (Е - U0-Нкг-HUg.J-K (5.7)
Таким образом, начав с общих формул (5.4), (5.5) теории воз-
мущений, справедливых в любой размерности для взаимодействия любого
радиуса, и воспользовавшись одномерностью задачи и видом взаимодействия,
мы пришли к сравнительно простому результату, тогда как в неодномерном
случае вместо компактных формул
(5.6) и (5.7) мы имели бы цепочку все усложняющихся рекуррентных
соотношений, каждое из которых содержало бы бесконечное число членов
рекурренции.
Из (5.6) следует, что величины u±1 - H2±1g±1 независимы от Я0 и друг от
друга и одинаково распределены. Обозначая плотность вероятностей
величин и и U через Р (и), <?(?/), найдем из (5.7)
/п /гс\ч Ср (ц) Р (и') Q (U) du du' dU
<G00(?)>"J E - U - u-u' ' ^'
Но согласно (5.6) случайные величины um =* Н%?т удовлетворяют
рекуррентному соотношению
""=E-UH-u (5-9)
& и т ит +1
откуда видно, что ит+1 не зависит от Vт и Нт, поскольку определяется
соотношением, получающимся из (5.9) заменой т на т-\-1. Далее, так как
функции распределения Uт и Нт не зависят от т, то это же справедливо и
для ит при всех т= ±1, ±2, ,.. Поэтому, приравнивая вероятности левой и
правой частей в (5.9), приходим к уравнению
Р(и)=.\кЕ(и, u')P(u')du', (5.10)
где
КА". u') = u-'^Q{E-u' - ^\R(h)hdh,
a R{h) - плотность вероятностей случайной величины Я(r),. Это уравнение и
формула (5.9) впервые были получены в [16] путем усред-
нения и последующего довольно кропотливого анализа членов ряда (5.4),
определяющего G(?').
Запись уравнения в терминах плотности вероятности Р (п) является
несколько условной, поскольку эта функция может оказаться весьма
нерегулярной, например иметь 6-образные особенности на плотном множестве
точек [7,49]. Уравнение, которое всегда имеет смысл, получается, если
проинтегрировать (5.10) с гладкой функцией f(u):
^f{u)P(u)du = ^f(^^j^jP(u)Q(V)R(h)dudUdh.
Нерегулярное поведение Р (и) может, вообще говоря, обусловить появление
аналогичных сингулярностей в плотности состояний. Однако это не приводит
ни к каким неприятностям в физических величинах, так как последние
выражаются обычно через интеграл р(?) с гладкими функциями*). Кроме того,
эти нерегулярности возможны лишь тогда, когда случайные параметры задачи
могут принимать только дискретные значения, т. е. когда их плотности
вероятностей имеют 6-образные пики, и исчезают при сколь угодно малом
размазывании последних.
Уравнение (5.10) и формулы (5.8), (5.2) в принципе решают задачу об
отыскании плотности состояний р (Е). Для этого, согласно изложенному
выше, необходимо решить интегральное уравнение (5.10) для плотности
вероятностей Р (и), зависящей от Е как от параметра, по формуле (5.8)
вычислить <G00(?)>, аналитически продолжить полученную функцию в
окрестность спектра и затем воспользоваться соотношением (5.2).
Правая часть соотношения (5.8), определяющего <G00(?)>, билинейно зависит
от Р (и). Можно получить также формулу для <G00(?)>, в которую Р (и)
входит линейно. Для этого рассмотрим сначала длинную, но конечную
цепочку, гамильтониан которой HN определяется формулой (5.1) при / -1,
..., N и нулевыми граничными условиями. В соответствии с (3.6) и (1.29)
имеем
р (Е) - я-1 Im Hm (N<z)_1 SpG(N>(? - Ю) =
N
(м)-1 Im lim N-1 2] G^(? - Ю),
N ->• * m= 1
*) Заметим, что функции, с которыми интегрируется р {?), могут быть и
Е
не очень гладкими. В частности, число состояний (Е) = ^ р (?') dE' =
= ^ 0(?-Е') р(Е') dE', где 0 (Е)-функция Хевисайда, в случае, когда - 00
выполнены условия пространственной однородности и ослабления корреляций,
является, как можно показать, непрерывной функцией Е (см. п. 4.2).
59
где G(N) - (Е - HN)_1. Как и выше, мы будем считать, что Е нахг дится вне
спектра. Для таких Е в силу (3.6)
<G00(?)>- lim N-1 <SpGlN) (?¦)>,
или
<G00(?)> = lim N_1 ~ <Sp In (? - HN)> = lim N~1^<lnDN>,
dE
где DN = det(]? - HN| есть определитель следующей матрицы порядка N:
Е - иг -Н1 о
-нг Е-U^ - Я2
О - Я2 Е - и3
Е-HN =
Е - (7n-2 -Н n_2 О
- #N-2 ?-^N-1 -Як-1
О
-Ям_ 1 Е-Ян
Обозначим через Dm определитель, получающийся из DN после вычеркивания
последних N - т строк и столбцов. Разлагая Dm+1 по элементам последней
строки, приходим к рекуррентному соотношению
1 гт
Отсюда, положив dm~Dml XI (Е- ?/у-), после элементарных пре-
1 i = 1
образований получим
E - V
D,
т + 1
D,
¦) =
Hi
E-Um-(E-Um) (1 -djdm^) '
(5.11)
Определители Dm, а вместе с ними и dm зависят от U±, ..., Um_1; Hl> • ••>
