Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
предположении, что оставлено только взаимодействие ближайших соседей.
Таким образом, рассматриваемый нами случайный оператор имеет вид
н=2^1/><Л+2я//1'><Л. (5.1)
/ *'./ где i, /=*0, ± 1, ±2, ...,
Hj, /> О, /<0,
a Uj и Нг являются случайными, взаимно независимыми величинами. Мы не
упоминаем здесь о граничном условии для Н, так как, согласно (3.7), для
вычисления плотности состояний достаточно рассмотреть случайный оператор
без граничных условий, т. е. оператор, определяемый (5.1) при всех /.
Здесь необходимо отметить следующее. Поскольку мы рассматриваем
дискретный случай, то доказательство самоусредняемости
55
удельных экстенсивных величин, данное в гл. I, непосредственно
неприменимо в этой ситуации. Однако если считать случайными только
диагональные элементы U^ то можно построить соответствующие
доказательства по той же схеме, что и в гл. I, используя вместо интеграла
Винера его дискретный аналог - интеграл по траектории так называемого
пуассоновского процесса (см., например, [39], где описана общая
конструкция таких интегралов). Если же иметь в виду только плотность
состояний, то можно поступить и иначе - воспользоваться теоремами,
впервые доказанными Ледерманом [40] и утверждающими, что при изменении т
элементов матрицы порядка N число ее собственных значений, попадающих в
заданный интервал, изменяется не более чем на т. С помощью этого
утверждения можно доказать самоусредняемость числа состояний <№{Е), а
следовательно, и р (Е) для любого оператора (5.1) (с достаточно быстро
убывающим взаимодействием), в котором стоящие на каждой диагонали
величины являются случайными последовательностями, удовлетворяющими
условиям пространственной однородности и ослабления корреляций (см.,
например, [19-22], где эта схема применяется для уравнения Шредингера).
Наконец, в последней, весьма общей ситуации самоусредняемость любых
функций типа плотности состояний, спектральной функции, функции / (Ег,
Е2), определяющей проводимость, и т. п. можно установить, доказывая этот
факт для всех их моментов. Они, являясь интегралами от указанных функций,
помноженных на целые степени энергии, на основании формул, подобных
(3.6), (3.8), явно выражаются через матричные элементы оператора и потому
допускают детальный и достаточно эффективный анализ [41].
Очевидно, что оператор (5.1), в котором Uj и Hj, стоящие на главной и
двух побочных диагоналях, являются независимыми, одинаково
распределенными случайными величинами, удовлетворяет указанным выше общим
условиям (см. [41]).
Из формул (1.29) и (3.7) следует, что
P(?) = liZ;Im<Goo(?--*0)>, (5*2)
где G00 (?)^=(?' -Н)м- диагональный матричный элемент функции Грина
оператора (5.1), а N и L = Na - число узлов и длина системы. Мы сейчас
опишем предложенный Дайсоном [16] способ отыскания <G00 (?)> в области
достаточно больших по модулю отрицательных значений Е, где отсутствует
спектр оператора Н. Так как в этой области <G00(?)> аналитична, то тем
самым <G00(?)> однозначно определяется при всех комплексных Е, а значит,
и на спектре. Таким образом, для вычисления р(?) достаточно, по крайней
мере в принципе, найти <G00(?)> при значениях Е, лежащих далеко слева от
спектра.
Определим собственную энергию 20(?) соотношением
G00(?) =*(?-?/,-2. (?))-i. (5.3)
56
Используя разложение G(?) в ряд теории возмущений по Hif\
G ?i/ У V V (54)
при i - j - 0, получаем (et = Е - U()
(?)=".-'( i+Е Е
\ п = 2 т, m"-i e"i*W--eo
Каждое слагаемое под знаком двойной суммы в этом выражении может быть
изображено в виде замкнутой /г-звенной ломаной (петли) с
последовательными вершинами в точках 0, mlt m2, ...
..., О, причем звену этой ломаной, идущему из вершины т. в вершину mi+1,
ставится в соответствие множитель Нт-т. 1ет. .
Будем называть элементарной такую петлю, в которой вершина О фигурирует
только в качестве начальной и конечной. Т огда G00 (?) может быть
записано в виде
G00(E) = e^[ 1+ 2 23 mPi...mPn
\ п =1 Ри . . ., Рп
где р - индекс, нумерующий элементарные петли, а тр - вклад от р-й петли.
Последнее выражение, как нетрудно видеть, можно записать иначе:
G0o(?)=
откуда
2"(?)=Ё Е' , (5.5)
п = 2 т, /н"_х еахетъ'''ета--у
где 2' обозначает, что в сумме по каждому т отсутствует слагаемое,
соответствующее /72 = 0. Из этого ограничения на суммирование и вида
взаимодействия {Н1}-Ф0 лишь для |?- j|=*l) следует, что в (5.5) mn_1 =
ml, в силу чего
ж 1 ж. ч 1 Hnm.t . ,Нт _
^0 с/я' л = 3 m,.тп_2 emi---emn-2eml
Это выражение можно записать в виде
2"(?)= 2 Н^тНша = Н\О^Ни
т Ф0
где G\f определяется таким же, как Gj7, рядом (5.4), с той лишь разницей,
что в выражении для G^ ни один из индексов суммирования trij не может
быть равен нулю. Написав для такую формулу и опять воспользовавшись видом
взаимодействия, убеждаемся, что в ней суммирование будет производиться
только по
57
положительным значениям индексов, т. е. по всем т/^\. Это означает, что
СЙ* совпадают с элементом 11 функции Грина G(1) оператора, определяемого
