Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Н%__j, так что правая часть в (5.11) зависит только от Uи ..., Uт\ Н\,
..., Н2т. Это означает, что величина "^(Я), определяемая формулой
uS"\(E) = (E-Um^)( m= 1 N-l.
и удовлетворяющая в силу (5.11) рекуррентному соотношению
и?>(Е)
т
E-Um-u(tm)2r{E)
, т = \у ..., N - 1; n<N>(?) = 0, (5.12)
зависит только от Ult . .., Um\ Щ, ..., H2mt причем зависимость от Uт и
Н% указана этой формулой.
60
В терминах величин определитель DN имеет вид
Dn = (?-?/,) п (Е-ит)-±-= П (Е-и.-иЦ-ЛЕ))'
т-2 ат-1 т = 1
откуда
N
<G"(?)> = ^ lim N-^^(E-U.-ufflAE)". (5.13)
Сравнивая (5.12) и (5.9), видим, что при N -*¦ оо величины можно
отождествить с ит. Поэтому в силу независимости ит_1 и Uт из (5.13)
следует, что*)
<G00(?)> = ^ J Р (и) Q (V) In (?-{/-")dV du. (5.14)
В некоторых случаях формулы (5.8), (5.10), (5.14) удобно переписать,
вводя моменты и(/) случайной величины и:
и{})Р {u)uf du. (5.15)
В этих переменных соотношения (5.8), (5.10), (5.14) принимают вид
<0""(Я)>= ? ? С';+/и""в<ле<--+/*'>, (5.16)
/ = 0 п г, J - 0
uU) - h{i) S С{+/_1и"^/+/); ui0)^ 1, (5.17)
/ = о
со оо
<G"(E)> = X - Е Г1*'* " (5.18)
/ = 0 / = 1
где -</72'>, а е(/) =?<(? -?/)"'>. Соотношения (5.16) и (5.18) были
установлены в [42], правда, без указания на связь их с (5.8) и (5.10),
которая немедленно вытекает из соотношения (5.15), показывающего, что
величины и{/) есть моменты плотности вероятности Р (и).
Формула (5.18) несколько неудобна из-за присутствия в ней величин
du(J)jdE. Их можно исключить из (5.18) двумя способами. Во-первых, вместо
<С00 (?)> = <(? - Н)^1) можно рассматривать функцию
Q(?) = lim N''1<.\ndet{E-H^)>=^\P{u)Q{U)\n(E-U-u)dudUi
N -> " J
(5.19)
*) Аналогично можно получить и формулы (5.8) - (5.10). Однако на таком
пути одномерность задачи используется с самого начала. Поэтому в отличие
от изложения, принятого в тексте, возникающие в неодномерном случае
трудности (см. абзац после формулы (5.7)) не удается даже четко
сформулировать.
61
через аналитическое продолжение которой число состояний
Е
$*(Е) = J р (E')dE' выражается так же, как р(?) через анали-
" оо
тическое продолжение <G00 (?)>, т. е.
сГ (Е) =*(па)-1 Im Q(Е - Ю).. (5.20)
Во-вторых, можно использовать уравнение (5.17), что приводит в конечном
счете к формуле (5.16). Тем самым непосредственно устанавливается
эквивалентность внешне различных правых частей
(5.16) и (5.18), а вместе с ними и (5.8) и (5.14), дающих выражение
для одной и той же величины <G00(?)>.
Может создаться впечатление, что при выводе соотношений
(5.8) и (5.14) использовались не только одномерность и характер
взаимодействия (ближайшие соседи), но и дискретность задачи. Последнее
обстоятельство, в отличие от первых двух, в действительности не является
существенным, так что изложенная выше схема переносится и на непрерывный
случай, т. е. на одномерное уравнение Шредингера со случайным
потенциалом. Не останавливаясь на этом более подробно, укажем только один
специальный случай, в котором аналогия с дискретной задачей является
наиболее полной.
Речь идет об одномерном уравнении Шредингера, в котором потенциал U (х)
имеет вид (1.16) с k0 > 0. Иными словами, рассмотрим оператор HL,
задаваемый уравнением
- ф" + U (х) ф = ?ф,
?/(x) = fc0i]6(jt-ду) (5-21)
/
и граничными условиями ф(Т) = ф(-L) = 0, считая, как и выше, что энергия
Е = -q2 находится вне спектра оператора HL. Используя специфический вид
потенциала U(х), нетрудно показать, что
<G (0,0; ?)>= lim (2L)-1 (sPGJ. + ^ In det (I-A"6d) • (5.22)
Здесь G? - матрица NxN, где N-число рассеивателей на интервале (-L, L),
причем
(GDif^GUx^Xj-, E).
Таким образом, вопрос опять сводится к вычислению некоторого
определителя. В данном случае это определитель Djy порядка N, равного
числу рассеивателей на интервале (-L, L), с элементами Di}\
k
Dii~ 1+^> Di, i+k~^i + ki i П Tli+y* l^?<?-(-&^Af,
i = i
где
X^kjq, 4\f = e~qyJ, У/ - x/+i Xy.
62
Обозначая через Dm определитель, получающийся из матрицы, определяющей
D#, оставлением первых т строк и столбцов, приходим, как и ранее, к
некоторому рекуррентному соотношению, которое в терминах величин и$у
=*DmlDm+1 имеет вид
,0V) {Р\ ^ (Ут)
U{ym)-uTi(E)
> (Е) = _ , (5.23)
аналогичный (5.9). Здесь Н (ут)=*Цт\ U (ут)= 1 - Ь + (1 + ^)т)-2.
Величина и(щу (Е) зависит от уи ..., ут, причем зависимость от ут указана
формулой (5.23). Искомый определитель D# просто выражается в терминах
величин ит\
D^v = (1 -f Я,) (" IJ .
\т = 1 /
В результате для <С(0, 0; Е)> из (5.22) получаем
<G(0, 0; ?)> = - lT^P{u)\nudu, (5.24)
где плотность вероятности Р (и) величины и, согласно (5.23),
удовлетворяет уравнению
P(u) = jp (и') f (у)Ь (и du' dy, (5.25)
в котором f(y) есть плотность вероятностей расстояния между двумя
соседними рассеивателями, a 1 - 2L/N - среднее расстояние между ними.
5.2. Модель Дайсона. Рассмотрим сначала, следуя Дайсону [16], частный
случай этой модели, когда диагональные элементы Uj в (5.1) равны нулю, а
недиагональные элементы Hj- резонансные интегралы -являются
