Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
8<0'
2С2е-2се-3/* [1 _ехр (-2яс/|/ е)]-1 X
X
arctg У е
- У е Л 2 лс \ -1
-Ч'-ехр7?
8 > 0.
В случае предельно малой концентрации (|1пс|^>1) этот результат выглядит
наиболее просто (рис. 3):
4/3с2, &<0, |е|<^1, 0 < 8<^с2/1п3с,
I IР (^) J 2яс2е-3/г ехр (-2лс/У г), с3/1п2с<^е<^са,
2л
*/.
С2<^8<^1.
Таким образом, основное отличие плотности состояний в области | & | <^ 1
в системе притягивающих рассеивателей от случая отталкивающих центров
состоит в существовании плоского уча-
69
стка р (Е)" 8c*/3kо левее точки е0 ~ с2/In2 с. Появление такой
зависимости имеет простое физическое объяснение. Действительно, б-
функционная одномерная яма всегда содержит ровно один дискретный уровень.
А две такие бесконечно близкие ямы представляют собой также 6-функционную
яму с большей интенсивностью, содержащую снова один уровень. Это
означает, что система парных уровней, порождаемых двумя б-функционными
рассеивателями, при уменьшении расстояния между ними смыкается с
затравочным непрерывным спектром, образуя хвост плотности состояний с р
(Е) ~с2. Как будет показано ниже (§ 28), в трехмерном случае подобные
соображения позволяют проследить за поведением плотности состояний в
широкой области энергий - практически во всем интервале от локального
уровня до затравочного непрерывного спектра.
§ 6. Метод вычисления числа состояний, основанный
на фазовом формализме
6.1. Общие формулы для числа состояний. Метод вычисления плотности
состояний, изложенный в предыдущем параграфе, имел в качестве отправного
пункта формулу (1.36), которая выражает р(?) через функцию Грина и
справедлива в пространстве любой размерности при произвольном виде
взаимодействия. Специфика задачи (одномерность и взаимодействие ближайших
соседей) проявилась лишь при вычислении <<300 (?)>. Однако для
одномерного случая существует гораздо более тесная связь р (Е) с
решениями уравнения, определяющего рассматриваемый случайный оператор.
Для непрерывной модели эта связь может быть сформулирована так: число
состояний с энергией, не превосходящей ?, у системы, занимающей интервал
(О, L), максимум на единицу отличается от числа нулей на (О, L) у решения
уравнения Шредингера с заданной на одном из концов интервала
логарифмической производной. С помощью этой теоремы (она обычно
называется осцилляционной [47, 48]) можно получить ряд соотношений,
позволяющих более просто, чем было указано выше, находить плотность
состояний в одномерном случае*). При этом оказывается, что такие
соотношения остаются верными и в тех случаях, когда справедливость
осцилляционной теоремы в том виде, как она была сформулирована, может и
не иметь места, например, когда число состояний отличается от числа нулей
на величину, зависящую от энергии и растущую при L-> оо медленнее, чем L.
Поэтому мы приведем вывод упомянутых соотношений, который использует не
саму осцилляционную теорему, а опирается на те свойства уравнения
Шредингера, которые лежат
*) Связь спектра динамического уравнения с нулями его решений в рас
сматриваемом здесь круге задач впервые была использована в [49].
70
в ее основе и позволяют на одном и том же пути доказывать подобные
соотношения и в других ситуациях (в дискретных случаях, для одномерного
уравнения Дирака, см. §§ 7, 8).
Обозначим отнесенное к единице длины число состояний уравнения Шредингера
-^Г + 1/{х)Ъ=ЕЪ О <*<L, (6.1)
с энергией, лежащей в интервале (Е1У Е2), Ег < Е2, через Jf (Е1У ?а), так
что
я,
Ml (Ег, ?J = Jpt(?')dE'.
Я,
Введем фазу а (х) волновой функции, положив ctg а (х)=ф' (лс)/тф (лг)-Для
однозначного определения фазы а(х) необходимо еще потребовать, чтобы она
была непрерывной функцией х (пока предполагается, что потенциал U (х) не
имеет 6-образных особенностей, а изменения, которые необходимо внести в
том случае, когда они имеются, будут указаны ниже). Из (6.1) находим, что
а (добудем называть ее неприведенной фазой - удовлетворяет уравнению
а' -Фя(?/, а), Фя(?/, а)s= cos*a + (?-?/(x))sinaa, (6.2)
и начальному условию a(0) = ao, (^а0 = ф7ф|*=о" 0^а"<я. Но из уравнения
(6.2) путем дифференцирования его по ? и интегрирования получающегося
линейного уравнения находим, что
д<Х d? ^ ~ i sJn2a(*/)exP ^-J (0~ ?+ 1] sin 2ot (^) dt \ dy.
о { у )
Таким образом,
аа|^Б,
оЕ
Это соотношение, свидетельствующее о монотонной зависимости фазы от
энергии, и является основным в излагаемом формализме. Действительно, из
него немедленно следует, что отнесенное к единице длины число <M*l(Elt
Е2) собственных значений уравнения Шредингера на интервале (О, L) с
граничными условиями
|о = etg ос0, ^ ^ctga^ совпадает с числом тех значений
Е^(Е1, Е2), для которых a(L, E) = aL-\-mn при некотором целом т, и равно
Л (Еи E2)^L~* p-(-L-'-?i!)-~ra (L' ?l)j ,
где [x] обозначает целую часть числа х. Переходя к пределу L -> оо и
учитывая самоусредняемость числа состояний (см. § 3)
71
приходим к соотношению
оН*(Ег, Я2) = lim (Ln)~] :"(L, E2)-a(L, Я,)>. (6.3)
L оо
