Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
корень квадратного трехчлена х
CjX
1
+ V/ В ~ F (с/) = поэтому у) где и нечетно, то у^+1 = (-1)"
2 в
Cj, так что у/
в
- 1. Так как ц + 1 1, откуда у/ ^ -у/1
-- 2 В Тог
я
= (V/
так что Cj ? Fg. Так как F (х)
V; У = V?
V/'
-1 V/
V/ = С/
чуя.
нормированный многочлен, то
в
F(x)= П (х
/=1
С,),
откуда
в
в
в у-В
РФ)
П (р - Cj) --- П (V /=1 /-1
Cj).
Это означает, что
•&
5
в
П (у2 /~1
c/V - 1)'
Поскольку это равенство справедливо для любого элемента из любого
расширенна поля Fg (в том числе и для у - G), получаем полиномиальное
равенство
в
У .VI о
Vi"
5 ('.ft
."•.Т'-а,
ii.W-.-
m
Ш
4$
x2B + i
П (x2
/=i
:1.
$"0?
V Ate
Подставляя в него б-1**'/2 вместо я и умножая на Ь2В, получу (полагая cf
= (г/2) + 1) разложение многочлена
ш
2?г
- х*
а
(ср. с заключительной частью доказательства теоремы 3.71 Полученные
сомножители неприводимы в Fg Ы" посколь] нам уже известно, что на
основании теоремы 3.37 каноническ* разложение двучлена х* - а содержит В
неприводимых мног* членов из Fg ЬП степени v (см. рассуждение,
предшествующе* теореме 3.76).
т
§ 5. Двучлены и трехчлены
163
3.77. Пример. Разложим двучлен х24- 3 в кольце F7 fxJ* Здесь q = 28 - 1,
так что А = 3, В = 4 и о = 6. Кроме того, элемент а = 3 имеет в группе F*
порядок е - 6, так что условие (i) теоремы 3.75 выполнено и можио
применить теорему 3.76. Имеем d = 4 и, решая сравнение 8т ее 4 (mod 6),
получаем г ~ 2. Поэтому b = сг - 2. Далее, многочлен F (я) ~ х4 + 4х* + 2
имеет в поле F7 корни ±1 и ±3. Таким образом, получаем каноническое
разложение многочлена х24- 3 в кольце F7 М:
хча __ з - - 2х3 - 4) (xe + 2Х3 - 4) (хв - х3 - 4) (х(r) +
+ х3 - 4). ?
Трехчленом называется многочлен из трех ненулевых членов, одним из
которых является постоянный член. Сначала мы рассмотрим такие трехчлены,
которые являются аффинными многочленами.
3.78. Теорема. Пусть а - ненулевой элемент конечного поля [Fg
характеристики р. Трехчлен хр - х - а неприводим в Fg fx 1 тогда и только
тогда, когда он не имеет корней в поле ?ч.
Доказательство. Если р - какой-либо корень многочлена хр - х - а в
некотором расширении ноля Fg, то, согласно доказательству теоремы 3.56,
множеством корней многочлена хр _ х - а является р + Ut где U - множество
корней линеаризованного многочлена (р-многочлеиа) хр - х. Но нам
известно, что U - Fp, так что
хр - х - а = П (х - р - Ь).
р
Допустим теперь, что трехчлен хр - х - а имеет делитель g С fq fx 1, где
I < г = deg (g) < р и g - нормированный многочлен. Тогда
g (х) = П (.< - р - bi)
1=1
для некоторых bt ? Fp. Сравнивая коэффициенты при х'"1, получаем, что гр
+ Ьг + ... + Ьг - элемент из поля Fr Поскольку число г как элемент поля
Fg имеет мультипликативный обратный элемент в этом поле, то Р ? Fg. Итак,
мы показали, что если трехчлен хр - х - а нетривиально разлагается в
кольце Fg [хЗ, то он имеет корень в поле F4. Обратное же утверждение
тривиально.
3.79. Следствие. В обозначениях теоремы 3.78 трехчлен хР - х - а
неприводим в кольце Fq fx 1 тогда и только тогда,
когда Тгр^ (ц) =j/k О,
164 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Доказательство. По теореме 2.25 многочлен хр - х тогда н только тогда
имеет корень в поле [Р5, когда абсолютна след Trjp (а) равен нулю.
Остальное вытекает из теоремы 3.78. f
Q у
Поскольку для любого Ь ? многочлен / (я) неприво, над полем Fq тогда и
только тогда, когда непривбдим над многочлен / (Ьх), то приведенный выше
критерий сохраняет ж также и для трехчленов вида bpxp - bx - а. I
Что же касается более общих трехчленов подобного ви$! степенью которых
является не характеристика р исходного пой а некоторая ее степень рп, п >
1, то найденные выше критерд для них уже недействительны. Однако в этом
случае может бы* установлена следующая формула разложения.
3.80. Теорема. Пусть - F - конечное поле и ff - Кщ его собственное
подполе. Если а ? §> = К, то трехчлен xQ - х ^ - а имеет следующее
разложение в кольце F<* [xh
Qif
х? - х - а П (хг - х - рД (3.1
/=1
• ч
t
с
где Pj) - различные элементы поля Fq, для которых Ttf/k ({3,) = "
Доказательство. Пусть р, ? Fy - элемент, указанный в теГ реме, и пусть у
- корень трехчлена хг - х - р* из некоторой расширения поля F<*. Тогда уг
- у = ру, так что
а = Tr(рЛ) = TrF/K (уг - у) -
--- (Уг - т) + (Y - Y)r + (Y - УУ' + • • • + (Yr - уУг = Y* - V> I
т. е. элемент у является корнем трехчлена хР - х - а. Посколы' многочлен
хГ - х - р^ имеет лишь простые корни, то хг - х делит трехчлен хР - х -
а. А так как все трехчлены хТ - х - || / = 1, qir, попарно взаимно
просты, то их произведение дел многочлен х$ - х - а, Сравнение степеней и
старших коэфф циентов многочленов в обеих частях формулы (3.18) показывай
что этн многочлены совпадают.
3.81. Пример. Пусть х9 - х - 1 -трехчлен из Fs [х]. сматрнвая поле как F3
(а), где а - корень неприводимо-многочлена х% - х - 1 ? F3 lx], получим,
что элементами п Fe, имеющими абсолютный след, равный 1, являются элемент
