Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
нормальном базисе для некоторых бесконечных полей ха-Л рактеристики р,
Дальнейшие ссылки, связанные с теоремой qyl нормальном базисе, см, в
комментариях к § 3 гл. 2, Формула и.#щ леммы 3,51 установлена Муром
(Moore [3 ]). Be простое доказала тельство указано Диксоном (Dickson
[30]), у!
Линеаризованные многочлены изучались также в работах;! Carcanague II], [2
], Carlitz [213 и Vaughan Т. Р, UL Частные;! классы линеаризованных
многочленов появляются у Карлицд-f (Carlitz [7], 117 J, [20], [341,
135]), В статье Daykin 151 рассм&<:| триваются аффинные многочлены и
выясняются степени и число'|1 их неприводимых делителей. Метод отыскания
корней многочле*;|| нов на основе их аффинных кратных изложен в работе
Berlekamp^,j| Rumsey, Solomon UL В работах Carlitz [21 J, [911, Ore fTjJ
Silva [| ] и Vaughan T. P. [I ] исследуются связи между дннеарйД!
зованными многочленами и циркулярными матрицами. О век^Щ торных
пространствах и линейных отображениях над конечный&Л полями см. Brawley,
Carlitz, Vaughan [1], Bnrde 12]. [5], PelifJ 111, Rella 111, Ulbrich 11]
и Vaughan T. P. [1], 12]. ПитерсоЯ (Peterson 121) применил результаты
Пеле (Pele III) в теории дирования. В статье Jamison fl] линеаризованные
многочленмЯ используются в задаче о покрытии векторного пространства над
Р||| аффинными подпространствами. В работе Segre, Bartocci [1.Л
линеаризованные многочлены над ра применяются к конечный!" проективным
геометриям. Изложение теории линеаризованных *Й| аффинных многочленов
можно найти в книгах Berlekamp №11 eh, 11 ], MacWilliams, Sloane 12, ch.
4 ], McDonald 11 f ch. 2l|j и Redei [10, ch. 81. Линеаризованные
многочлены над более o6yj| щими нолями, характеристики р изучались в
работах Art in Crarnpton, Whaples [1], Krasner [1.1 и W ha pies [1].
4|j
Теорема 3,83 доказана Ope (Ore IS]); см. также Zierler Мщ Для частного
случая, когда f (х) является примитивным многша} членом иад fq (н тогда
многочлен F (х)!х неприводим над F^Apl
* * vIVS'SSS
'лхчкге
Комментарии
175
этот результат получен в статье Marsh, Gleason [1 ]. Дальнейшие
результаты а этом направлении можно найтн в работах Dickson
1301, Mills [3] и Варшамоа [2], 13], [51.
Формула для Фа (/} из леммы 3.69 (iii) была получена Деде-киндом
(Dedekind 11 ]) для простого числа д и Митчеллом (Mitchell О. И. [1]) для
общего случая. Дальнейшие результаты о фд (/) имеются у Карлица (Carlitz
[26], [28]). Групповая структура множества многочленов, подсчитываемых
числом Ф?, была исследована а статьях Claasen [1], [2]; см. также Smits
[1]. В работе Cohen S. D. [4] рассматривается аналог функции Ф(] (/) для
многочленов от нескольких переменных. В статье Kiihne [31 получена
формула для числа нормированных многочленов данной степени d < deg (/),
которые взаимно просты с данным многочленом / С Fp [*!•
§ 5. Теорема 3.75 по существу была доказана Сер ре (Serret 12]) для
конечных простых полей. Дальнейшие характеризации неприводимых двучленов
можно найти в работах Albert 13, ch 5 J, Capelli [1 ], [2], [3], Dickson
[7, part I, ch. 3], Lowe, Zelinsky [1 ], Redei [10, ch. 11 ] и Schwarz [4
J. Разложение в теореме 3.76 получено тоже Серре (Serret [2]); см. также
Albert [3, ch. 5] н Dickson [7, part I, ch. 3]. В статье Shiva, Allard [1
]
рассмотрен один способ разложения двучлена x2k~l + 1 над полем Разложение
двучлена - а над полем F? рассматривается в работе Dickson [30]; см.
также Agou 114]. Шварц (Schwarz [7]) получил формулу для числа
нормированных неприводимых делителей фиксированной степени данного
двучлена, а Редей (Redei (9 3) указал ее короткое доказательство; см.
также Agou [10], Butler [2] и Schwarz [4]. В статье Gay, V61ez (1 ]
доказана формула для степени поля разложения неприводимого двучлена над
произвольным полем (ранее она была установлена Дарби (Darbi [1]) лишь для
полей характеристики 0). В работе Agou [4] изучается разложение
неприводимого над двучлена в некотором расширении поля Таблицы разложений
двучленов вида хп - 1 даются а статьях Beard, West [2] и McEliece [3].
Разложение многочленов более общего вида g (х)* - а над конечными
простыми полями рассматривается а работах Ore [2] н Petterson (31.
Приложения разложений двучленов можно иайти в статьях Agou [10],
Berlekamp [2] и Vaughan Т. P. (I ].
Теорема 3.78 и следствие 3.79 были впервые доказаны Пелле (Pellet [1 ]).
Неприводимость трехчлена хр - х - а над Fn ври условии, что а ? была
установлена еще Серре (Serret рп [3]), См. об этом также Dickson [3], (7,
part I, ch. 31 и Al-y^rt 2, ch. 5]. Теорема 3.80 доказана Диксоном
(Dickson [3], 17, part I, ch. 31), ио для частного случая а = 0 она была
уста-иовлена еще Матье (Mathieu (1 ]). Теорема 3.82 в общем виде была
176
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
.........................................................................
...'ну"
АШШКМС1
;1
• •. P.V
j
доказана Варшамовым [3], [51; см. также Agou [91. Случай Ь щ = 0 привлек
внимание гораздо раньше. Соответствующий резульеЙ тат (в случае Ь - 0)
