Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
как и при пост нии аффинного кратного. Пусть g (х) - минимальный многоч
элемента ? над F,m, и пусть deg (g) - п. Найдем для кажД i-^0, 1, ..., rt
однозначно определенный многочлен г{ (х)
ь
пени deg (rf) < rt - 1, такой что х* = r{ (х) (mod g
Затем найдем элементы "Д f т,
/1 q
не равные нулю одиоВ]
0. С этой целью
менно, для которых а,г, (х) =
1-0
няем нулю коэффициенты при всех степенях х', 0 < / ^ н получим п условий,
представляющих собой однородную стему из rt линейных уравнений
относительно п + 1 неизвест
п
¦т
t:-
4>.
§ 4, Линеаризованные многочлены
155
ctg, а*, "п* Такая система всегда имеет нетривиальное решение, и для
любого такого решения (а0, а1з ап)
а это значит, что L (х) - ненулевой многочлен над Fgm, делящийся на g
(х). Выбрав щ так, чтобы многочлен L (х) оказался нормированным
многочленом наименьшей возможной степени, мы убедимся, что ? является ^-
первообразным корнем многочлена L (х) над fqm. Легко видеть, что этот
нормированный q-многочлен L (х) над [рqm наименьшей положительной
степени, который делится на g (х), определяется однозначно; он называется
минимальным ц-многочленом элемента ? над Fgm.
3.68. Теорема, Пусть ? - элемент из некоторого конечного расширения поля
|Fgmt и пусть М (х) - его минимальный q~многочлен над Тqm. Для того чтобы
элемент ? был корнем q-многочлена К (х) над Fgm, необходимо и достаточно,
чтобы К (х) - - L (х) & М (х) для некоторого q-многочлена L (х) над Fят.
В частности, при т = I это означает, что элемент ? является корнем ц-
многочлена К (х) над Fgm в том и только том случае, если К (х)
символически делится на М (х).
Доказательство. Если К (х) = L (х) М (х) = L (М (х)), то сразу получаем,
что /( (?) G. Обратно, пусть
и допустим, что элемент ? является корнем ^-многочлена
Полагая s = г - t н 7; = 0 для / < 0, рассмотрим систему из s F 1
линейных уравнений относительно s + 1 неизвестных ро,
1(х)= ? = ? с?,г( (х) =l 0 (mod g (х)),
М(х) = ? где vi = 1, Yy? F
Ро | 7?-ipi И- V?-2Р2 I * * * { yt-s Ps - Щч
Ps-1 ~f V?-1 Ps
Ps = 1,
p в - ar.
№
156 Г л: 3. Многочлены над конечными полями
.* .-¦-¦-¦-¦-x---wbsll ^MAVrrtO'tfrtii"- ,н" -; - - -ЖШИШУ П"
1|Г^^1
<¦*
Ясно, что эта система имеет единственное решение (р(Ь р.,)t.
где р| (с [F9m, 0 </*<:' 5. Введем многочлены
S
^ М 2 И /? (х) - К (х) -- I (М (х)),
1^- 0 ¦ ' |?
Г-Й ^
. ;|
"W - t**/-SP,(Ev/r- *
?--0 '/--О / ц
- S <**/ - 2 Р,- S Д/¦н = 1
м-0 /^0
.'М
\1 _ ^ \'5 j ,'р о \ ijl
2j {х%х I L v Д' - 1 х
*::==(} Ч У /
-iUb-tviLfr)**1'. 1
ШЫ \ г-ИЗ ./ ¦ ¦!
. |
В силу выбора элементов р,- многочлен R {х} имеет степень
Но так как R (?) К {?) ¦ L (М (?,)) ~ 0, то из определения'л
многочлена М (х) вытекает, что R (х) - нулевой многочлен, Сле-1
дователыю, К, (х) - L (М (л-)) L (х) 0 Tf (х).. П д
'А
Обозначим теперь через NL число ^-первообразных над Ff/ корней ненулевого
многочлен a L (х) над f\r Рассмотрим задачу Ц нахождения NL. Если ^-
многочлен I, (х) имеет кратные корни, :| то по теореме 3,65 можно
написать L {х) ~ L:i {х'уу где Lt (х) - ^ некоторый ^-многочлен над Так
как каждый корень ыиогоШ члена L {%) является в то же время и корнем
многочлена /,х (х), то jf NL - 0, Таким образом, можно предположить, что
многочлену1 L (х) имеет лишь простые корни. Если deg (Т (х)) =¦- 1, то,
оче-ijj видно, Nl 1. Еслн же 1, (х) - многочлен степени цп > 1;| и, кроме
того, нормирован (это предположение не ограничивает"! общности), то пусть
*
I (х) Ij (х) 0 . . . 0 Ц (х) & , . . 0 L, (х) 0 , , . (r) L, (х) ¦
Т
f,r .¦ ч !!¦ II ¦ -т*~.| '11 и п Гш 1Г*"*^ "-Yi'-T1 liviorir i~
гп тг т ¦" яш т ft • iTii'i ни и ¦¦! 1-,Ь> Ш. Л^8
*? е ХМ
г V ,ш<%
<.лф
- символическое разложение /, (х) в символическое произД ведение
различных нормированных символически неприводимы^ ^-многочленов Ly (х),
Lr (х) над fq. Мы получим число А^кг| вычитая из полного числа qn корней
многочлена L (х) число такиХ| корней этого многочлена, которые в то же
время являются кор-;| ними каких-либо ненулевых ^-многочленов над fq
степени, мень4| шей чем qn. Если ? один из таких корней многочлена Ь($||
Д 4 / Ч V, 3тЧ S У % * / \ \
и Лт (х) - его минимальный многочлен над |уг то deg (Л! (х)) syg
' пП, так что по теореме 3.68 многочлен М (х) символически делА|
¦^bV
§ 4. Линеаризованные многочлены
157
I (х). Отсюда следует, что М (х) символически делит один из таких
многочленов /(* (х), 1 <1 i < г, который получается из символического
разложения L (х) исключением одного символического сомножителя Lt (х), и
тогда, согласно теореме 3.68, Ki (?) - О- Поскольку каждый корень
многочлена Ki (х) является в то же время и корнем многочлена L (х), мы
видим, что число NL получается вычитанием из дп числа элементов ?,
которые являются корнями каких-либо многочленов Ki (х). Если степень
многочлена
Li (х) равна qnL то степень (а значит, и число корней) многочлена
Ki (х) равна qn~tli. Если при $ < г индексы г,, ia различны? 1 < /*<>, то
число общих корней многочленов Ki (х), ..., Кс (х)
