Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
все корни наибольшего общего делителя имеют одг и ту же кратность, равную
либо единице, либо некоторой степе числа ц. Поэтому из теоремы 3.52
следует, что наибольший общ! делитель данных (/-многочленов сам является
</-многочлено$ Но тогда из теоремы 3.62 вытекает, что наибольший общий
деЖ тель и наибольший общий символический делитель совпадаю! Эффективным
способом нахождения наибольшего общего (симвГ лического) делителя данных
(/-многочленов над fq является nepf ход к (/-ассоциированным с ними
многочленам и нахождение наибольшего общего делителя; тогда
линеаризованный (/-асе циированиый с ним многочлен и будет наибольшим
общим (си волическим) делителем данных (/-многочленов.
Согласно теореме 3.50, корни ненулевого (/-многочлена над § образуют
векторное пространство над [Fg. Эти корни обладй* еще одним
дополнительным свойством: q-e степени этих корн снова являются корнями
4). Конечномерное векторное простр? ство М над полем jpg, содержащееся в
некотором расширен поля fq н обладающее дополнительным свойством, что q-я
пень каждого элемента из М снова принадлежит М, и азов q-модулем. На
основе этого понятия можно установить следующ^ критерий. j
L (х4> так что е:
J) Если L (х) есть <?-многочлен над IFg, то L (х)** Р - корень L, то L
(р?) - 0. - Прим, перев.
§ 4. Линеаризованные многочлены
153
3.65. Теорема. Нормированный многочлен L (я) тогда и только тогда
является q-многочленом над полем Р,3> когда все его корни имеют одну и ту
же кратность, равную единице или некоторой степени числа q, и эти корни
образуют q-модуль.
Доказательство. Необходимость условия вытекает из теоремы 3.50 и
сделанных выше замечаний. С другой стороны, из условия теоремы на
основании теоремы 3.52 следует, что многочлен L (х) является <?-
многочленом над некоторым расширением поля р^. Пусть М - множество корней
многочлена L (х), Из условия теоремы получаем, что
L (х) = П (х - Р)**
В ? М
для некоторого неотрицательного целого числа k. Поскольку М является ^-
модулем, то М - |р9| р ? Af |. Отсюда получаем
L (xf = П (*" - = П (х* - ру -= L (*")•
Если
L (х) - ? а*х"\
1=0
то
? auxf^~l " L (x)q (tm) L (xq) ? а^х*7 + ,
i=0 t=о
так что af = a?- для 0 i < /г, т. е. аг ? рд. Поэтому L (х) является ^-
многочленом над р7.
Любой ^r-миогочлен степени q иад р^, очевидно, символически неприводим
над fq. Для ^-многочленов степени >q над полем р<; понятие ^-модуля можно
использовать для характеризации символически неприводимых многочленов.
3.66. Теорема, q-многочлен L (х) степени >q над полем рд символически
неприводим над р9 тогда и только тогда, когда он имеет простые корни и
эти корни образуют q- моду ль М, не содержащий других q-модулей, кроме
{0} и самого М.
Доказательство. Допустим, что многочлен L (х) символически неприводим над
f Если бы он имел кратные корни, то в соответствии е теоремой 3.65 его
можно было бы записать в виде L (х) -
Lx {x)q, где Ej (х) - некоторый ^-многочлен над р9 степени,
большей 1. Но тогда L (х) = х'7 @ (х), что противоречит сим-
волической иеприводимостн L (х). Таким образом, L (х) имеет лишь
154
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
простые корни. Пусть теперь N - некоторый д-модуль, содер; жащийся в М.
Тогда из теоремы 3.65 получаем, что L2 (я)
= П (х - р) - некоторый g-многочлен над fq, Поскольку мн Э ^ №
гочлен L2 (х) делит L (х) в обычном смысле, то, согласно теоре
3.62, он и символически делит L (х). Но так как многочлен L (
символически неприводим над Fg, то степень deg (L2) должй быть равна либо
1, либо deg (Т), а это означает, что д-модуль либо совпадает с {0}, либо
с М.
Чтобы доказать достаточность условия теоремы, предположи что L (х) = Lj
(х) @ L% (х) - символическое разложение L где Lx (х) и L2 (х) - некоторые
д-многочлены над Fr Тогда мн гочлен Lx (х) символически делит L (х), а
значит, согласно т< реме 3.62, он делит L (х) и в обычном смысле.
Следовательно, корй! многочлена Lx (х) просты и д-модуль Дг, образованный
этими ка] иямн, содержится в М. Поэтому N совпадает либо с jOj, либо с
deg {Lx) равна либо 1, либо deg (L). Значит, один из многочлен* Lx (х)
илн L2 (х) имеет степень 1, а это означает, что многочл*
L (х) символически неприводим иад Fq.
3.67. Определение. Пусть L (х) - ненулевой д-многочлен и полем fqm.
Корень ? этого многочлена называется q-первообр ным корнем над F^m, если
он не является корнем никакого ней левого д-многочлена над F^m более
низкой степени.
I
К этому понятию можно подойти также с другой точки зрен Пусть g (х) -
минимальный многочлен элемента ? над полем f Нетрудно видеть, что ?
является д-первообразным корнем мир члена L (х) над fqm тогда и только
тогда, когда многочлен g, делит L (х), но не делнт никакого ненулевого д-
многочлена б низкой степени.
Для заданного элемента ? из какого-либо конечного рас рения поля Fqm
всегда можно найти ненулевой д-многочлен (Fqm, для которого ? является д-
первообразным корнем над F Чтобы убедиться в этом, мы поступим так же,
