Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
х ь
равно степени их наибольшего общего делителя, которая совпадает со
степенью их наибольшего общего символического делителя (см. рассуждение
после примера 3.64). Используя символические разложения, находим, что эта
степень равна
П - П* -rt-
" г 1 ь
q 1 s.
Применяя теперь комбинаторный принцип включения-исключения, получаем
окончательно, что
Г
А7 Ft V1 П--П* j VI П-П--Пз р / 1 \Г П -
- П.
t-l 1
=," (1 - ... (1 - r"T
Это выражение можно интерпретировать и иначе. Пусть I (х) есть ^-
ассоциированный с L (х) многочлен. Тогда
/ (х) = /] (х)^ .. Лг (х)?г
- каноническое разложение многочлена / (х) в кольце Fg 1x1, где /; (х)
есть ^-ассоциированный с L-, (х) многочлен, 1 -< i г. Определим аналог
функции Эйлера ср (см. упр. 1.4) для ненулевого многочлена / (х) ? Fg
1х], обозначая через Фд (/ (х)) = Фд (/) число взаимно простых с / (х)
многочленов степени, меньшей rleg (/), из Fg [х]. Тогда из следующего
результата вытекает, что Nl - Фд (/ (х)).
3.69. Лемма. Функция Фд (/), определенная выше для ненулевых многочленов
f ? Fg 1x1, обладает следующими свойствами:
(i) Фд (/) - 1, если deg (/) = 0;
(ii) Фд (/g) • Фд (/) Фд (g), еСЛи Н0Д (Л S) = 1J
(iii) если deg (/) = n > 1, mo
%(f) = qntt - 0 -я~Пг),
e$e nlf .nr- степени различных нормированных неприводимых сомножителей из
канонического разложения многочлена f e Fg Ixl.
158
Гл, 3. Многочлены над конечными полями
Доказательство. Свойство (i) тривиально. Перейдем к свойст
(ii). Положим Фд (/) = s и Фд (g) = t, и пусть /ь /я (coots: ственио gv
...,gf)- все многочлены из Fg [х], взаимно пр стые с / (соответственно с
g), степени которых меньше deg (соответственно deg (g)). Если h ? Fg lx]
- многочлен степей меньшей чем deg (fg), взаимно простой с произведением
fg, то взаимно прост также и с каждым из многочленов fug. Поэт найдутся
однозначно определенные числа i и /, 1 < i < $, 1: < j < t, такие, что h
= ft (mod /) и h = gj (mod g). С друг: стороны, согласно китайской
теореме об остатках для коль: Fg lx] (см. упр. 1.37), для каждой
упорядоченной пары (г, с 1 г < s, 1 t, существует однозначно
определенный щ
гочлен h (х) ? fg [х\ степени deg (h) < deg (fg), обладающр свойством h =
fi (mod/), h ~ gj (modg), Отсюда следует, h (x) взаимно прост с каждым из
многочленов f (х) и g (х), а зД чиТ, и с их произведением / (х) g (х).
Поэтому существует взаий!* однозначное соответствие между st
упорядоченными парами (*, и многочленами h (х) ? Fg [х], такими, что deg
(h) < deg (| и НОД (h, fg) = 1. Следовательно, Фд (fg) - st = Фд (/) Фд |
Для натурального числа е и неприводимого многочлена 61 ? Fg [х] степени т
число Фд (Ье) можно подсчитать иепоср;^ ственно. Если многочлен h ? Fg
1х] степени, меньшей deg (be) == те, не взаимно прост с Ье, то он делится
на b и потоС имеет вид h - bg, где deg (g) < ет - т. Такой многочлейа: в
Fg [х] можно выбрать qem~m различными способами. Qrc^f
вытекает, ЧТО Фд (Ье) == qem - qem-m = дет ?| - q~m). СвоЙ€§
(iii) теперь следует из (ii).
3.70. Теорема. Пусть L (х) - ненулевой q-многочлен над и I (х) есть q-
ассоциированный с ним многочлен. Тогда число J q-первообразных над fg
корней многочлена L (х) равно 0,
L (х) имеет кратные корни, и равно Фq (I (х)), если L (х) ил простые
корни.
Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из леммы 1 и предшествующего
ей рассуждения.
3.71. Следствие, Каждый ненулевой q-многочлен над fq с:Щ стыми корнями
имеет хотя бы один q-первообразный над корень.
Выше было введено понятие (/-модуля. Полученные резуль|у о ^-
первообразных корнях можно использовать для построй особого типа базиса
для (/-модуля.
3.72. Теорема. Для q-модуля М размерности т > 1 нащ
существует такой элемент ? € М" что lE> Е*2" ..." E^~"4f базис М над F".
§ 4. Линеаризованные многочлены
159
Доказательство. Согласно теореме 3.65, L (х) - П (х - Р)
является ^-многочленом иад Fq- В силу следствия 3.71 этот многочлен имеет
^-первообразный корень ? над Fq- Поэтому ?, ??,
..., ??т"' являются элементами ^-модуля М. Если бы они были линейно
зависимыми над Fq, то элемент ? был бы корнем некоторого ненулевого </-
многочлена над Fq степени <deg (L (х)) -
что противоречит определению первообразного над fq корня многочлена L
(х). Поэтому указанные выше т элементов линейно независимы над Fq и,
следовательно, образуют базис <у-модуля М над Fq- ?
3.73. Теорема. В поле fqm имеется ровно Фд (дст- 1) различных элементов
?, для которых (?, ?*, ??2, ??т-1) является базисом fqm над F Т
Доказательство. Так как поле Fqm можно рассматривать как ^-модуль, то
доказательство получается применением теоремы 3.72. Здесь в силу леммы
2.4
Цх}- П (д: р) - хят - дг,
и каждому ^-первообразному над Fq корню ? многочлена L (х) соответствует
базис указанного вида. С другой стороны, если элемент ? ? Тат не является
^-первообразным над Fq корнем
2 ТП 1
многочлена L (дс), то элементы ?, ??, ?* , ..., ?? линейно зависимы над
Fq и, следовательно, не образуют базис в Fqm над Fq.
