Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
• M m'L ¦ ЪсЩ ЪШ
Комментарии
169
В статьях Lehmer D. Н. [4 3, [53 развит эффективный метод решета для
делителей чисел вида дт - 1, а в статьях Lehmer D. Н, [1], [2 3, [33,
[7], [10 3 - различные методы для проверки на простоту и разложения на
множители чисел такого вида; см. также Kraitchik (23 и Miller J . С. Р.
[13. В статье Brillhart, Selfridge [13 дается список полных разложений
чисел вида 2т- 1, а в работе Brillhart, Lehmer, Selfridge [1 ] приводятся
дальнейшие сведения о разложении чисел такого вида. Обзор различных
методов разложения дается в работах Knuth [3, ch. 4] и Williams Н. С.
[2].
В связи с определением 3.12 отметим интересный класс само-возвратных
многочленов, т. е. таких многочленов /, для которых /* = / (см. также
упр. 3.13-3.15, 3.24 и 3.93). В статье Levine, Brawley [13 определяется
число нормированных неприводимых самовозвратных многочленов данной
степени (равной 2 или 4), а в статье Carlitz [105 3 та же задача решается
для многочленов любой четной степени. По поводу дальнейших результатов о
самовозвратных многочленах см. также Fredman [1], Golomb [53, Hong,
Bossen [13, Miller R. L. [13 и Варшамов, Гараков [1 j.
В работах Knee, Goldman [13 и Levine, Brawley [13 изучаются
квазисамовозвратные многочлены, т. е. такие многочлены, для которых /* =
±f. В статье Albert [53 свойство двух неприводимых многочленов одинаковой
степени над F3 быть возвратными друг к другу описывается при помощи
многочленов, корнями которых являются произведения корней исходных
многочленов. В связи с теоремой 3.14 см. Chang, Godwin [13. В статье
MacWilliams, Odlyzko [13 связь между разложением многочлена и разложением
возвратного к нему многочлена использована для опровержения гипотезы о
корреляции конечных последовательностей из поля Fa-
Примитивные многочлены называются еще индексирующими (indexing)
многочленами (см. Alanen, Knuth [23 и Sugimoto til). Конечно, такие
многочлены тесно связаны с примитивными элементами конечных полей. Ватсон
(Watson Е. J. [13) приводит список, где указано по одному примитивному
многочлену над f2 для всех степеней п 100, а в статье Stahnke [1] -для
всех степеней п 168. В статье Sugimoto 313 приводится таблица примитивных
многочленов над простыми полями fp для 3 <
< Р 47. Списки примитивных многочленов имеются также в следующих
источниках: Alanen, Knuth [13, [2 3, Bussey [1],
123, Marsh [13, Peterson, Weldon [I], а также в гл. 10 настоящей книги. В
статье Bose, Chowla, Rao [13, [2] дается характеризация примитивных
многочленов степеней 2 и 3. Карлиц (Carlitz [96 3)'" показал, что иад
полем Fq существует в точности один примитивный многочлен степени п лишь
в случаях, когда q = 2, п ¦< 2 или q = 3t п - j. в статьях Beard [53 и
Beard, West [1]
170
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
продолжено изучение примитивных элементов и примитивн многочленов,
начатое Карлицом (Carlitz [35]). В работе Bilh
[1] доказан для примитивных многочленов аналог гипотезы А тина (Artin
[1]) о первообразных корнях при определени, предположении о
местонахождении нулей конгруэнц-дзета-фуг ций (см. об этих функциях
комментарии к §4 гл. 6). Это предп жение было доказано Дэвенпортом
(Davenport [7]) и в более си иой форме А. Вейлем (Weil [1 J, (21, [33). В
статье Brown, Z senhaus [13 изучается относительная частота простых чисел
, для которых заданный неприводимый над полем рациональных г сел Q
многочлен с целыми коэффициентами будет примитив многочленом по модулю р.
Мнрончиков [1] доказал связаин* с теоремой 3.16 результат о том, что
многочлен f ? |F2 [x] приводим над if2, если deg (f) - 2m и ord (/) =
+ 1, где
четно. В работе Agou [12 3 получена характеризация неприводим1
многочленов заданного порядка, а значит, в частности, и при$| тивных
многочленов. Теорема 3.18 доказана в работе Alanf Knuth [2 3 для конечных
простых полей, В статьях Hirschfeld I [5 3 изучались подпримитивные
многочлены, т. е. такие многочл, над полем fq некоторой степени т,
которые имеют приведен^ порядок (qm - \)l{q - 1). В соответствии с
теоремой 3.18 кале' примитивный многочлен над является также
подпримитивнЕ § 2. Первое крупное исследование о неприводимых мк~ членах
и неприводимых делителях многочленов от одной перем; ной над полем было
проведено Диксоном (Dickson [7J), f торый опирался на ранние работы
Jordan С. [2 3, Pallet [7| Serret [2], [43. Теорема 3.25 была доказана
еще Гауссом (Ош [4]) для случая конечных простых полей; см. также
Dedekind и Schonemann [33. Доказательства этой теоремы можно также в
следующих источниках: Albert [3, ch. 5], ВвсЗиЩ [4, ch. 7 3, Berlekamp
[4, ch. 31, Dickson [7, part I, ch. 2l*f ger [13, Serret [33, Simmons [13
и van de Vooren-van Veert|| Общая теория функций Мёбиуса и обращения
Мёбиуса была J вита Рота (Rota [1]). Некоторые общие принципы, лежа:* в
основе подсчета числа не г ногочленов, были
liams К. S, (ИЗ) получили асимптотические формулы для ч нормированных
неприводимых многочленов над Fq стер" <' п и степени п соответственно. Об
