Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
k (х) 1Х (х) + г (х), где deg (г) < deg (^), переходя к линеаризованным
{/-ассоциированным многочлена (обозначаемым соответствующими большими
буквами), получи равенство L (х) = К (х). 0 Lx (х) + R (х). Согласно уже
дока занному, Lx (х) делит символическое произведение К (х) 0 Lx (х в
обычном смысле, а следовательно, Lx (х) делит и R (х) в обычно смысле. Но
так как deg (R) < deg (Lx), то R (х) должен быть нуй левым многочленом, а
это доказывает, что многочлен Lx (х) сищ| волически делит L (х).
Полученный результат можно использовать для установлен" интересной
взаимосвязи между неприводимыми многочленами , неприводимыми делителями
линеаризованных {/-ассоциированны с ними многочленов.
йГ:
3.63. Теорема. Пусть для неприводимого многочлена / (х)
[х 1 линеаризованным {/-ассоциированным с ним многочленщ является F (х),
Тогда степень каждого неприводимого делите многочлена F (х)/х в [х ]
равна порядку многочлена f(x).
Доказательство, Так как случай / (0) - 0 тривиален,
будем предполагать, что / (0) Ф 0. Положим е - ord (/), и пус
h (х) ? fq 1х] - некоторый неприводимый делитель многочлен;
F (х)!х и d = deg (h). Тогда многочлен / (х) делит хе - 1, а
?
довательно (ввиду теоремы 3.62), многочлен F (х) делнт Xя
?
Значит, и многочлен h (х) делит хц -
3.20 число d делит е.
С другой стороны, применяя алгоритм деления, можем и ап
I
А у
I,
• *Н • '!§,
Щ
х, а потому в силу теор
сать х
1 = 8 (х) I (х) + г (х), где g (xj, г (х) ? fq [х]
§ 4, Линеаризованные многочлены
151
deg (г.) < deg (/). Переходя к линеаризованным qr-ассоциированным с
данными многочленам (обозначаемым большими буквами),
получим равенство
#• *
У - х = G (х) (r) F (х) + R (х),
и так как h (х) делит оба многочлена У - х н G (х) (r) F (х),
то к (х) делит и многочлен R (ж). Если г (ж) - ненулевой многочлен, то он
взаимно прост с / (х) ввиду неприводимости последнего, поэтому (см.
теорему 1.55) существуют такие многочлены s (х)
и k (х) из Fq [х], что
S (ж) г (ж) f k (х) f (х) - 1 .
Обращаясь к линеаризованным ^-ассоциированным многочленам, получим
соответствующее равенство
S (х) (r) R (х) + К (*) F (я) ~ х.
Поскольку к (х) делит многочлены R (х) и F (х), то к (х) должен делнгь и
многочлен х, что невозможно. Следовательно, г (х) - нулевой многочлен,
так что многочлен f (х) делит хй - 1, и поэтому (по лемме 3.6) число е
делит d. Итак, мы доказали, что d = е. ?
Будем говорить, что qr-многочлен L (х) степени, большей 1, над полем
символически неприводим над если в любом его символическом разложении на
множители L (х) = (х) <g> L2 (х),
где Ly (х) и (х) суть q-многочлены над по крайней мере один из
сомножителей имеет степень 1; Символически неприводимый многочлен в
обычном смысле всегда приводим, так как любой линеаризованный многочлен
степени, большей 1, имеет нетривиальный сомножитель х. Применяя лемму
3.59, сразу получаем, что q-многочлен L (х) символически неприводим иад
Fq в том и только том случае, когда ^-ассоциированный с ним многочлен I
(х) неприводим над
Каждый q-многочлен L (х) степени, большей 1, над рд можно символически
разложить в символическое произведение символически неприводимых
многочленов иад F причем это разложение но существу однозначно (в том
смысле, что все другие такие символические разложения получаются из него
перестановкой сомножителей и умножением сомножителей на ненулевые
элементы поля Р9). Используя соответствие между линеаризованными
многочленами и многочленами, q-ассоциированными с ними, не-тРУдио видеть,
что символическое разложение q-многочлена L (х) йаД Fq можно получить,
найдя сначала каноническое разложение в Fq Ixj q-ассоцнированного с ним
многочлена I (х) и затем переходя к соответствующему равенству для
линеаризованных ?¦ ассоциированных многочленов.
152
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
3.64. Пример. Рассмотрим 2-многочлен L (х) = х1в + Xs 4- х2 ~Ь х над
полем Рг! 2-ассоциированный с ним многочл/ / (л:) - х* + х3 + х 4- 1
имеет следующее каноническое раз л о ние: I (я) ~ (х2 + х f 1) (х + I)2 в
р2 [дг ]. Поэтому символиц ским разложением 2-многочлена L (х) на
символически непр водимые 2-многочлены над f2 является
L (х) ~ (х4 + х2 |- х) (r) (х2 4- х) & (х2 4- х).
Для двух и более q-многочленов над не равных нулю одц временно, можно
определить их наибольший общий символа* ский делитель как нормированный
q-многочлен над (рд наивысше степени, который символически делит все эти
многочлены. Чтоб сравнить это понятие с понятием обычного наибольшего
общег делителя этих многочленов, заметим сначала, что корнями на!
большего общего делителя заданных ц-многочленов являют^ общие корни всех
этих многочленов. Поскольку пересечение по, пространств векторного
пространства снова является подпр странством, то корни наибольшего общего
делителя образуя подпространство некоторого расширения fqm поля
(рассматр!; ваемого как векторное пространство над полем (рч). Далее, пр
' меняя к данным (/-многочленам первую часть теоремы 3.50, пол| чаем, что
