Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Значит, число элементов ? ? Fqm, для которых 1?, ?<6 ?*\ ...,
?*т-!) является базисом Fgm над Fq, совпадает с числом ф-первообразных
корней над Fq многочлена L (дс), которое в силу теоремы 3.70 равно (xm -
1). ?
Этот результат придает определенную законченность теореме о нормальном
базисе (ср. с определением 2.32 и теоремой 2.35).
Поскольку каждый из элементов ?, ??, ??2, ..., ??т~' порождает один и тот
же нормальный базис Fqm над FQ, то число различных нормальных базисов Fqm
над Fq равно (11т) Фя (хт - 1).
3.74. Пример. Подсчитаем число различных нормальных базисов поля F$4 наД
JFV Так как 64 = 26, то это число равно (1/6) Ф2 (я6- 1). Из
канонического разложения (многочлена *в - 1 в кольце F2 lx ]
х8 - 1 - (* + I)2 (х2 + x + I)2
и леммы 3.69 (iii) получаем, что
Фг(*" - 1) = 2* (l--Т) (1 -f) = 24.
160
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
I
.
Следовательно, существуют четыре различных нормальных зиса F64 над F3.
¦ • Ж-
,т
v>.M
§ 5. Двучлены и трехчлены
щ
¦Ш
Двучленом (биномом) называется многочлен, состоящий из дв ненулевых
членов, одним из которых является постоянный чл Неприводимость двучлена
можно охарактеризовать в явном вн| Для этого достаточно рассмотреть лишь
нормированные нелин ные двучлены.
3.75, Теорема. Для натурального числа t >- 2 и а С FJ член х* - а
неприводим над полем F3 тогда и только тогда, выполнены следующие два
условия:
(i) каждый простой делитель числа t делит порядок е мента а в группе FJ,
но не делит число {q - \)!е\
(ii) если t кратно четырем, то q = 1 (mod 4).
Д.?
Доказательство. Пусть условия (i) и (ii) выполнены. То на основании
теоремы 3.35 из неприводимости в Fg 1х] линей#! многочлена f (х) ~ х - а
порядка е следует неприводимость гочлена / (х*) = xt - а в {ру [х].
Допустим, что условие (i) нарушено. Тогда существует стой делитель г
числа t, который либо делит число (q- 1)/е, .щ не делит число е. В первом
случае (q - l)iе = rs для некото] s ? N. Подгруппа группы FJ, состоящая
из г-х степенен эле: тов этой группы, имеет порядок (q - 1 )/r = es и
потому с одер подгруппу порядка е группы FJ, которая порождается эле том
а. Это, в частности, означает, что а = Ьг для некоторого 6 tFJi п отсюда
следует, что двучлен xt - а - xiif - hr ш нетривиальный делитель х*1 - Ь.
Остается случай, когда пр делитель г числа t не делит ни (q - \)!е, ни е,
а значит, не дел числа q-1. В таком случае существует такое натураль
число гь что г±г = 1 (mod (q -1)), и, следовательно, дву^ х* - а ~ xtir -
ar*r имеет делитель xti -- ari.
f
Теперь допустим, что условие (i) выполнено, но (ii) наруоЭ| Тогда t = 4^
для некоторого t2 ? N и q Ф 1 (mod 4). По наследует, что число е четно, а
так как е делит q - 1, то q доЛ быть нечетным. Значит, q = 3 (mod 4), и
нз теоремы 3.37 след; что многочлен х* - а приводим в кольце Fq [х]. По
это мш доказать и непосредственно. Заметим сначала, что из услО] на е и q
следует, что е = 2 (mod 4). Более того, аеi2 - -U fi что xf - а = х* +
а(г/2,+* = х* + ad, где d ~ {ei2) + 1 четЩу
Далее,
ad - 4 (2 W'2)2 - 4 (2-!а^уж =
s
§ 5. Двучлены и трехчлены
161
где с - (2а это приводит к разложению
х* - а ~ x4tt + 4с4 -
= {x2i* -j- 2cx*t -Н 2с2) (x'2t* - 2сх?" + 2с2). П
Если q = 3 (mod 4), то мы можем записать q в виде q ~ 2Аи - - 1, где Л >2
и и нечетно. Допустим, что условие (i) из теоремы 3.75 выполнено и число
t делится на 2А. Запишем t - Bv, где В = 2Л~Х и v четно. Тогда число k из
теоремы 3.37 равно А и при f (х) - х - а многочлен / (х') = xt- а
разлагается в произведение В нормированных неприводимых многочленов из Fg
[х] степени ИВ - v. Эти неприводимые многочлены можно найти в явном внде.
Заметим, что, как и в последней части доказательства теоремы 3.75, число
d - (с/2) 4* 1 четно. Поскольку НОД (2В, q - 1) - 2, то существует число
г ? М, такое, что 2 В г d (mod (q - 1)). Полагая b = ar ? Fg, мы получим
следующее каноническое разложение.
3.76. Теорема. Пусть а - отличный от нуля элемент конечного поля IFg, q -
2Ли - 1, где А - целое число, А 2, и и нечетно. Пусть е - порядок
элемента а в группе и для натурального числа i, кратного 2Л = 2В,
выполнено условие (i) теоремы 3.75. Тогда двучлен xf - а разлагается в
произведение В нормированных неприводимых сомножителей степени v - t/B:
где Ь - аг, 2Вг = с/2 -Н 1 (mod (q - 1)), а элементы сг, ..., св - корни
многочлена
В/2
при этом все Cj лежат в Fg, 1 / <; В.
Доказательство. Для ненулевого элемента у из некоторого расширения поля
(х - у) (х + у"1) - х2- рх - 1, где р = у - у"1.
Применяя утверждение и обозначения формулы Варинга (см. теорему 1.76),
получаем
$в (xi, х2) - xf -j- х2 -
в
xf - а - П (ху - bcjXv/2 - Ь2),
шт
_
^>0, **>0
162
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
В/2
-2<
fa-О
1)'
(Д- - I) I д
{В - 2fa) ! h t
•эд
Vs.*
Полагая % = у
х%
В/2
у -В --
2<-"
t*-43
у'1, получаем
; (В (tm) ( - 1) I В i! (В - 2I) 1
Если с*
корень многочлена F (я) из некоторого расширешй
поля Fg и у/ некоторого расширения поля Fg, то у/ - у]
