Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
каждого неотрицательного целого числа k многочлен
А (х) - П (х - y)qk
у?Т
является аффинным q-многочленом над Fqm.
Доказательство. Пусть Г - л + U> где U - подпространство векторного
пространства F^m и л € Тогда
L (jc) П (я - р)?Й
148
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
- некоторый {/-многочлен над (согласно теореме 3.52),
Далее,
и L(x - ii)T как легко видеть, является аффинным д~многочленом! над полем
Fg(tm). ?!
Обычное произведение линеаризованных многочленов не обя^ зательно
является линеаризованным многочленом. Однако компо^ зиция Lx {Lt (х))
двух {/-многочленов Lx (х) н L2 (х) над полем снова является {/-
многочленом. Вместо слова "композиция" будей использовать выражение
"символическое произведение". Итак! мы определим символическое умножение
равенством I
Если рассматриваются лишь {/-многочлены над полем FJ то без труда
проверяется, что символическое умножение ком! мутативно, ассоциативно и
дистрибутивно (по отношению к обыч! ному сложению). На самом деле
множество {/-многочленов над jpj образует целостное кольцо относительно
операций символическое! умножения и обычного сложения. Но операцию
символического умножения можно связать и с обычной арифметикой
многочленов с помощью следующего понятия. |
над полем f4m называются q-ассоциированными друг с другоШ! При этом I (х)
называется просто q-ассоциированным с L {х) миогб! членом, a L (х) -
линеаризованным q-ассоциированным с I Щ многочленом. 1
3.59. Лемма. Пусть q-ассоциированными с q-многочленамщ Lx (х) и L% (х)
над полем являются соответственно многЩ члены 1Х (х) и /2 (х). Тогда
многочлены I (х) = ~ 1Х (х) 1> (х) и L (х) Щ ~ М (х) являются q-
ассоциированными друг с другоЩ
Доказательство. Равенства j
А (х) = П (х - yfk =* П (х-ц- pf= L (х - ц),
V?T
Lx (х) 0 Lt (х) = Lx (Ц (х)).
3.58. Определение. Многочлены
П
п
IМ - ? и l М = ?
Кх)- ? aix - ? ? ChXk = lx (х) h (X)
( i k
и
= Lx (х) 0 Ц (х)
§ 4. Линеаризованные многочлены
149
верны тогда и только тогда, когда в том и другом для каждого /
2 bfk. ?
/+й=*
Если (х) и L (х) являются многочленами над то будем говорить, что
многочлен Ц (х) символически делит L (х) (или что I (х) символически
делится на Ц (х)), если L (х) ^ Ц (х) <g> L2 (х)
для некоторого многочлен a L2 (х) над fq, Из леммы 3,59 тогда сразу
вытекает следующий критерий символической делимости,
3.60. Следствие. Пусть q-ассоциированными с q-многочленами (х) и L (х)
над являются многочлены 1г (х) и I (х) соответственно, Тогда многочлен LY
(х) символически делит L (х) в том и только том случае, если многочлен
(х) делит / (х).
- 3.61. Пример. Пусть многочлен L (х) над символически
делит многочлен х^ - х, где т ? IN. Это значит, что существует такой ^-
многочлен Ц (х) над что
Г - х = L (х) <g> Ц (х) = Ц (х) <g> jL (х) - Lj (L (х)). (3,17)
Этот факт можно использовать так. Пусть а - фиксированный элемент из поля
Fgm, Тогда аффинный многочлен L (х) - а имеет по крайней мере один корень
в поле в том и только том случае, когда (а) = 0, а если (а) = 0, то на
самом деле все корни многочлена L (х) - а принадлежат полю Действительно,
если р ? - некоторый корень многочлена L (х) - а,
то L (Р) = а, и, подставляя р вместо х в (3,17), получим (а) -
til
р* - р - о, Обратно, еслн Ц (а) - 0 и у - произвольный корень многочлена
L (х) - а в некотором расширении поля F?wn, то L (у) ~ а( и, подставляя у
вместо х в (3.17), получим
yQ,n - у = (а) - 0, так что у ? Чтобы найти многочлен
7, (х), сначала находят ^-ассоциированный с L (х) многочлен I (х),
а затем, полагая 1г (х) - (хт - 1)// (х), переходят к линеаризованному ^-
ассоциированному с Д (х) многочлену (х). Доказанное предложение в
качестве частного случая содержит теорему 2,25.
Действительно, еслн взять в качестве L (х) многочлен дЭ - х, то
оказывается, что Ц (х) = х + х^ + х** + ,,. + хя , ?
Замечателен следующий факт: несмотря на серьезное различие между
операциями символического и обычного умножения, понятия делимости для
линеаризованных многочленов, основанные на этих разных операциях,
оказываются эквивалентными.
3.62. Теорема. Пусть q-ассоциированными с q-многочленами T'i (х) и L (х)
являются многочлены h (х) и I (х) соответственно. Тогда следующие
свойства эквивалентны'.
Ч) многочлен L\ (х)_ символически делит L (х);
150
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
(ii) многочлен Lx (я) делит L (я) в обычном смысле\
(iii) многочлен 1Х (х) делит t (х).
Доказательство. Так как эквивалентность (i) и (iii) была установлена
следствием; 3.60, то достаточно доказать эквивалентность
(i) и (ii). Если многочлен Lx (х) символически делит L (х), то
L (х) = Ц (х) 0 Ц (х) Ц (х) 0 Ц (х) Ц (Lx (х))
для некоторого {/-многочлена L2 (х) над Пусть
ft
Ц(х) = ? агхя\
1--0
тогда
L (х) - a0Lx (х) j ах Lx (х)я 4-
anU(xf
П
так что L (х) делит L (х) и в обычном смысле. Обратно, допустим что
многочлен Lx (х) делит L (х) в обычном смысле. Тогда можн считать
многочлен Lx (х) ненулевым. Применяя алгоритм деле! ния, запишем I (х) =
