Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
- I, а и 1 - а. Поэтому формула (3.18) приводит к следующее разложению:
х* _ х _ j = _ х -f- 1) (лс* - jc - cc) (jc3 - jc - 1 + cc)* %
Так как все три сомножителя неприводимы в кольце Fg tx то мы одновременно
получили и каноническое разложение тре|
члена х9 - х -1 в ГхЗ,
§ 5. Двучлены и трехчлены
165
Наши познання о неприводимых трехчленах можно теперь применить для того,
чтобы, исходя нз данных неприводимых многочленов, строить новые.
3.82. Теорема. Пусть f (х) = хт + ат_ххт~х 4~ ... ф ай - неприводимый
многочлен над полем Fq характеристики р, и пусть Ь ? fq. Многочлен ( (хр
- х - Ь) неприводим над полем (Fq тогда и только тогдаt когда абсолютный
след Trp^ (mb -
-flm-i) отличен от нуля.
Доказательство. Допустим, что Тгг (mb - ат_х) Ф 0. Положим К = и пусть F
- поле разложения многочлена f над К-Если а ? F - корень многочлена f> то
на основании теоремы 2.14 все возможные корни данного многочлена - это
различные
элементы сх, сх?, сх<?2, cx?m_1; при этом F = К (а). Кроме того,
Тг(а) = -ат^, согласно (2.2), и, применяя теорему 2.26,
получаем, что
П> (сх -}~ Щ - Тг^ (Ттр/к (сх 4~ &)) = Тг^ (- &m_i -}~ mb) Ф 0.
На основании следствия 3.79 трехчлен хр - х - (сх + Ь) неприводим над
полем F. Поэтому If (Р) : F] = р, где р - корень
трехчлена хр- х - (сх ¦+ Ь). Из теоремы 1.84 получаем, что
IF (Р) : К 3 = If (Р) : F 3 [F : КI - рт.
Далее, так как сх = р? - р - Ь, то сх ? К (р) н К (Р) = К (сх,
$} -- F (р). .Это значит, что (К (р) : К\ - рт, и минимальный многочлен
элемента р над К имеет степень рт. Но ввиду того что / фр - р - Ь) ~ }
(а) - 0, элемент р является корнем нормированного многочлена f (хр - х -
Ь) ? К 1x3 степени рт. Из теоремы 3.33 (и) следует, что f (хр - х - Ь) -
минимальный многочлен элемента р над полем К, и потому по теореме 3.33
(i) он неприводим над полем К - Fq-
Если же Tr[p (mb - ат_Д = 0, то трехчлен хр - х - (а + Ь)
приводим над полем F, так что [F ф) : F] < р для любого корня р трехчлена
хр - х - (сх, + Ь). Такое же рассуждение, как и выше, показывает, что р
является корнем многочлена f (х? - х - 6) и при этом [F (Р) : /С 1 < рт,
откуда вытекает приводимость многочлена f (хр - х - Ь) над полем К ~ Fq.
?
Для некоторых типов приводимых трехчленов можно установить вид их
канонических разложений. Условия следующей теоремы включают в себя
требование неприводимости некоторого двучлена - вопрос, решаемый теоремой
3.75.
3.83. Теорема. Пусть задан трехчлен f (х) = хг - ах - Ъ ? Е [F9 Ы,
степень г > 2 которого является степенью характеристики поля fq, и пусть
двучлен хг~{ - а неприводим над Fq.
166 Гл. 3, Многочлены над конечными полями
<11 libVl 11 U-XH I I fcrt*l 111111111 ¦'¦'d *iSSt i ЦАЛЦ" MiWiTi
IfrZTTa K-Wd i . w 3. t g; ; ; ; KilWWJ 11ШНШМ1.. -
. mum. | \ \ i'w,l-L' _V ll^-t; у
Тогда трехчлен f (x) является произведением некоторого линейного
многочлена и неприводимого над fq многочлена степени г 1,
Дотзттльсгто. Тек как f (х) ~ -а Ф 0, то трехчлен / (х), имеет лить
простые корни, Если р - характеристика поля Fg* то / (jc) является
аффинным p-многочленом над Поэтому на основании теоремы 3.56 разность у
двух различных корней трехчлена / (д) является корнем р-многочлена х-г •
ах, а значит,
и корнем двучлена xf"(tm)! - * а, Ввиду неприводимости этого дву*--
члена и условия г - 1 > 1 мы получаем, что элемент у ие при-
надлежит полю fg, так что существует корень сх трехчлена / (х), не
являющийся элементом поля Тя. Тогда од Ф а, причем се* тоже является
корнем f (х), поэтому, согласно сказанному выше,
разность а* - " является корнем неприводимого двучлена хг~1 -
а над Fgt так что fFg (а* - а) : fq 1 -¦¦¦¦¦¦¦ г - !., В виду того
что Fg (а* - а) е ?q (а), степень т ~ (Fg (а) : fq ] кратна числу г - 1.
С другой стороны, а - корень многочлена f (х) степени л так что т ту г.
Но поскольку г > 2, то для т остается единственная возможность, а именно
m - г - К Таким образом, минимальным многочленом элемента а над F4
является некоторый неприводимый многочлен над Fg степени г -~ I, делящий
трехчлен f(x). Отсюда сразу вытекает утверждение теоремы. Q
Для частного случая простых конечных полей можно среди трехчленов
определенного вида выделить примитивные многочлены .
3.84. Теорема* Для простого числа р трехчлен хр - х - а ? ? Fp [хJ в то.ч
и только то At случае является примитивным многочленом над Fp, если а -
примитивный элемент поля Fp и при этом ord (хр - х - I) - (рр - 1)/(р
1).
Доказательство. Допустим сначала, что / (х) = хр - х - а -
примитивный многочлен над ?р, Тогда по теореме 3.18 элемент а является
примитивным элементом ноля Fp. Еслн р - корень многочлена g (х) - хр - %
- 1 из некоторого расширения поля Fp, то
О ag а ~- р -~ I} - а, ~~ f ,
так что элемент а ~ ар является корнем неприводимого трехчлена f (х) и,
следовательно, примитивным элементом поля Fp*-Поэтому f/ Ф I для 0 < г <
(рр !)/{/? - 1), ток как в противном случае мы напучили бы = j для
о < г (/? - 1) <
< рр - U что противоречит примитивности элемента а в воле Fpp-С другой
