Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
[1], Dye [13, KHngenberg, Witt [1], Springer ИЗ, Tietze fl] и Witt [2].
396 Гл. 6. Уравнения иад конечными полями
Jjw
Жмудь [1] нашел соотношение, связывающее инвариант Ар* с обобщенными
суммами Гаусса. В статье Meyer [1] представл обзор результатов Диксона и
Арфа с позиций их приложей| к конечным полям. О квадратичных формах над
конечными if лями характеристики 2 см. также Campbell [23, [43, [53, Щ
[7], а о кубических формах над полем 1Г2 см. Т'и [2]. В ста^ Pless [2 3
рассмотрены билинейные формы над полями характер стики 2. О квадратичных
формах иад кольцом Fq [х] см. ра6Ь§ Byers [13 и Carlitz [691.
У
Приложения квадратичных и билинейных форм иад кон| ными полями к теории
кодирования рассматриваются в статв'0 Cameron, Seidel [11, Delsarte P.
[31, Delsarte, Goethals [m Goethals [1], Lempel, Winograd [13 и Snapper
[13- О прило|г ииях к конечным геометриям см., например, работы ArtijrJ
ch. 31, Cordes [13, [2 3, Dai, Feng [13, [2], Feng, Dai [1], .¦(* Snapper
[11 и Козел, Шаклеина [13. О приложениях к алге# над конечными полями
см., например, Опо [5 3, [63. Кап# (Kaplan [13) доказал закон взаимности
(см. теорему 5.17),
сматривая число решений сравнения х\ -f ... 4- лс? = г
Теорему 6.21 можно интерпретировать и следующим обра^Й каждая
симметрическая матрица А иад полем Fq при нечетно; подобна некоторой
диагональной матрице D (в том смысле, | D - С1 АС для некоторой
невырожденной матрицы С иад |? ср. с работами Newman [1, ch. 4) и Mateos
Mateos [13- Блшг результаты о подобии, ортогональном подобии и т. п.
име!§ в работах Albert [13, Porter [81, [13 3, Porter, Adams [13,-jjj
ter, Hanson [13, [21. В силу связи между квадратичными мами и их
матрицами коэффициентов над полем при нечет^ чнсло линейных
преобразований, переводящих квадратичую ' ^ с матрицей коэффициентов А в
эквивалентную квадратичнуЬ| рму с матрицей коэффициентов В, совпадает с
числом иевы^Г деиных матриц X, таких, что X1 АХ ~ В. Это число было ojf.
делено Зигелем (Siegel [13) и Карлицом (Carlitz [541); ного q число
решений X матричного уравнения ХТАХ = Щ-Ё, симметрических матриц А и В
было получено в статьях Fp Dai [13, [23 и Fulton J. D. [53, [73; о случае
В = 0 см. Bu4;.;i? ester [23. Случай матрицы X фиксированного (но не
обязащф., полного) ранга рассмотрен в статье Hodges [21]. КососиммёЩщ
честя матрица А определяется условием АТ - -А. МатрЩ,, уравнение 'ХТАХ =
В с заданными кососимметрическими рицами А и В рассматривалось в статьях
Carlitz [51J и Hwj^, [22]. Такое же матричное уравнение с другими типами
матр^Г и В рассматривалось в статьях Buckhiester [23, [3], [4K4JL [63. Об
уравнении ХТХ - 0 см. Carlitz [1143 и Perkins [13* .*f,
В работе Hodges [93 рассматриваются матричные ypaBJpt
Комментарии
397
ХТЛ + ЛТХ = В для симметрической матрицы В и ХТЛ - - ЛТХ - В для
кососимметрической матрицы В.
Матричное уравнение
*1 ... XjAXi ... X" = fl
с различными неизвестными матрицами Хь и заданными
матрицами Л и В" которые либо обе симметрические, либо обе
кососимметрические, изучалось в статьях Mousouris, Porter [1], Porter,
Riveland [13 и Riveland, Porter [13, [23. Портер (Porter [123, [22 3)
обобщил матричные уравнения из статьи Hodges [93 на случай нескольких
неизвестных матриц. В работах Hodges [13,
[43 определено число решений матричного уравнения Xi + ...
Хп = А, где Xt - либо симметрическая, либо кососимметрн-ческая матрица,
см. также Porter, Mousouris [53. Системы матричных уравнений, содержащие
симметрические й кососнмметриче-ские матрицы, изучались в статьях Hodges
[17 3, [253.
Для матрицы А иад полем Fопределим матрицу Л*, применяя к элементам .
матрицы Л автоморфизм Фробеииуса поля F92 иад Fg (т. е. заменяя каждый
элемент а элементом а*) и затем транспонируя полученную матрицу. Матрица
Л называется эрмитовой, если Л* ='Л. Матричное уравнение X*АХ - В> где Л
и В - эрмитовы матрицы, изучалось в работах Carlitz,
Hodges [13, Fulton J. D. [63, Hodges [243 и Wan, Yang [13,
[23; оно связано с эрмитовыми формами (см. Albert 111, Dickson [13).
Более общее уравнение
Х? ... х?лх1... хп = В
с неизвестными Матрицами Хь Х^ и заданными эрмитовыми матрицами Л и В
рассматривалось в статье Mousouris, Porter
[2]. В работе Hodges [9 3 изучается уравнение Х*Л + А*Х = В с эрмитовой
матрицей В, а в статье Porter [20 3 - его обобщение на случай нескольких
неизвестных матриц. Системы матричных уравнений, содержащие эрмитовы
матрицы, встречаются в статье Hodges [25 3. Приложения эрмитовых ф°Рм к
конечным геометриям подробно изучены в статье Segre fill.
Матричное уравнение АХ = В рассматривалось в работах Hodges [53, Porter
[213 и Porter, Mousouris [2]. О несколько более общем уравнении АХС - В
см. в статьях Hodges [191, Porter, Mousouris [23. Работы Hodges [23, [183
посвящены матричному уравнению XAY В с неизвестными матрицами X и Y.
Дальнейшие обобщения можно найтн в статьях Dalla, Porter [13, Porter [103
и Porter, Mousouris [13, где изучается Уравнение АХг ... Хп =- В, а также
