Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
нашел число шений уравнения / = 0, где / - произвольная квадратичн
щ
'.ШЛ
форма над таким полем. Обобщение указанной теоремы на ел^§| чай
произвольного конечного поля нечетной характеристики осуществлено
Диксоном в статье Dickson 14 3; в этой статье мрД жно также найти теорему
6.30. О тех же результатах с иным(r) доказательствами см. также работы
Bachmann [3, part II, ch. Berlekamp [4, ch. 163, Cohen E. [133, Dickson
[7, part. 1, ch. 4 part II, ch. 7, 83, Hull [1], Ireland, Rosen [1, ch.
83, Joly Nagata [13 и Schmidt W. M. [3, ch. 4]. Метод, указанный в зД§§
мечанни 6.28 для произвольных многочленов степени 2 над пй|§ лем fq, не
пригоден для четного числа д, но число решений мож駧§ найти и для этого
случая (см. Carlitz [109]). Кантор (Kantor И определил число различных
значений, представимых ными формами над простым полем рр, р > 2. ^кт
¦¦¦&¦* ж
Хп) = hi с Fg. i = и
Системы уравнений /* (xrlf с квадратичными формами /1; ..., fh над fq
изучались в статья§|| Birch, Lewis 12], Birch, Lewis, Murphy [lj, Carlitz
[56], LevM Schuur [II, Mordell [81. Nordon [1], 12], [31, Weil [81 и
Демы8|
ггмг
иов [2]. О системах, содержащих как квадратичные, так и иейные уравнения,
см. Carlitz [101], [102 3, Cohen Е [111, [12 3, Fulton J. D. [9], Jung
[13, [2], O'Connor [13, O'Col# nor, Pall [1] и Tietavainen [33- В статьях
Carlitz [101] и tavainen [3] доказано предположение Коэна (Cohen Е. П о
том, что система уравнений над полем 1F? нечетной стики, состоящая из
уравнения / (хх, ..., хп) = Ь, где / - я
Iш
^feP
: д,
¦" Ъж"
SII
которая невырожденная квадратичная форма, и системы из линейных уравнений
от переменных xt полного ранга, всегда pa|t|§gg
решима в fj, если п ^ 2t + 2, но при п - 2t 1
такие системы, которые не имеют решений в IF". Карлин получй| также
аналогичный результат для поля характеристики 2 litz [101]). Системы
уравнений, содержащие квадратичные билинейные формы, рассматривались в
статьях Carlitz [56 3 Porter [1J, [23, [3], [63, 115].
Карлиц (Carlitz [39J, [43], [52 3, [63]) изучал уравнеяЩД вида / (хь хп)
- g (хи ..., хп), где / - квадратный член, a g - многочлен некоторого
специального вида. Случ
Ш
¦кш
Ч^А Г;'
5 • 1 ЩИ(r)
i
JP
Щ
ЩхЩш
когда п -- 3 или 4 и д (х
= ахг ... хп + Ь, а,
Комментарии
395
рассматривался в статьях Carlitz [50], [52], [75] и Rosati [1]. В работе
Carlitz [43] рассматривалось уравнение fj2 -f ... + fzn-ihn = Ь, где ft -
квадратичные формы, не содержащие общих переменных. Другой частный тип
уравнений, содержащих квадратичные формы, рассмотрен Карлицом (см.
Carlitz [47]). О кубичных формах и формах четвертой степени ем. работы
Campbell [1], [3], [8], [10], Carlitz [64], Ciechese [1], [2],
[3], [4], Davenport, Lewis [1], [4], [6], de Groote [1], [2],
Lewis [1], Lewis, Schuur [1], Mordell [5], [21], Segre [10] и Мании [4,
гл. 4], а также комментарии к § 3 и 4.
Содержащие квадратичные формы суммы значений характеров из упр. 6.27-6.30
можно рассматривать как обобщения квадратичных сумм Гаусса (ср. с. § 2
гл. 5). Впервые они были вычислены для конечных простых полей, а также
для кольца Z/(m) Жорданом (Jordan С. [4]) и Вебером (Weber [1 ]). О
дальнейших результатах см. работы Bachmann [3, part II, ch. 7], Braun
[1], Callahan, Smith [1], Carlitz [59], [109], Fulton J. D.
[9],
Smith R. A. [4]. Линник [2] и Малышев [2], [3, гл. 1]. О
близких суммах значений характеров см. работы Carlitz [45], [46], [109],
[ИЗ], Опо [4], Porter [16], [17], Springer [3] и ссылки на литературу в
статье Berndt, Evans [4] по обобщениям сумм Гаусса.
Обширная теория приведения и теория инвариантов для квадратичных форм над
конечными полями были развиты Диксоном в статьях Dickson [11], [12],
[13], [18], [22], [24]. Аналогичные результаты для систем квадратичных
форм были установлены Диксоном в статьях. Dickson [20], [22], [27]. Эти
теории были распространены иа формы высшей степени в работах Dickson
[15], [24], [29], [30], [.34], [363, 137], [38], [39]. Итог этим
исследованиям был подведен в книгах Dickson [353 и [42, ch. 19]. О
продолжении этих работ см., например, статьи Glenn flj, Hazlett [1], [2],
[3], [4], Wiley [1], Williams W. L. G. [1],
[2], [33, [4] и обзор в книге Rutherford [I]. Более поздние исследования
инвариантов форм над конечными полями содержатся в работах Almkvist [13,
Campbell [93, [113 и Carlitz [47], [53], [59]. Нужно отметить, что
понятие инварианта для таких форм встречается еще у Гурвица (Hurwitz
[Г]). Основная теорема 6.21 справедлива, разумеется, для любого поля
характеристики, отличной от 2, так как ее доказательство не использует
конечности основного поля; см. также Боревич, Шафаревич [1,
алгебраическое дополнение]. Теория квадратичных форм над произвольными
полями характеристики 2 более сложна. Основными работами по этому вопросу
являются статьи Albert [13 и Arf [1], причем в последней введен один
важный инвариант. Об упрощенном подходе к инварианту Арфа см. Dieudonne
