Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
так что в итоге
N (ft) - | < 2"V+2 < 2я W2>+2,
*1
<1
'¦Й
••il
•ЛЕ5
. ly
откуда вытекает неравенство (6.36).
6.60. Теорема. Комплексные числа <аь ojn_2 ад теоремы 5.36 удовлетворяют
неравенствам | (c)у | < ql/2 для j ~ 1, /г -
Доказательство, Будем предполагать выполненными условна теоремы 5.36.
Тогда в обозначениях этой теоремы при Е = fqs
2 x(s,(/M) = 2 х(ТгЯ/глн?)))= 2 -v (t.) х (Л).
Если положить N (b) - qs~~l + R (Ь), то ввиду (6.36) < 2rtVs/2)"i"4 " так
что, применяя (5.9), имеем
R(b) К
т
¦Р
I!
2 x(s)(/(v)) ---- 2 + R Ф)) x (И 2 R(b)x(b) <
f q 6€F,
• ?14
••V"
< S |^(ft)|<2nVs/2,+5-
Из теоремы 5.36 следует} что
S г Е 3 А 2 5 S/2
од I ... ша"1 -<у 2п q q
поэтому, учитывая лемму 6.55, получаем
:г.>Н
!<$
№
т
1
* % *
П
1.
для всех s ? (N,
I < qX!1 для
.щ
¦ -.от
ш
*
;
'.Itf *
. r.f Й
¦"-Я
Оценка для суммы значений характеров из теоремы 5. полностью доказана.
Эту оценку теперь можно использовать для if уточнения теоремы 6.59.
6.61. Теорема, Пусть f ? F" [х] - многочлен степени п 1, | причем НОД (л,
q) - 1. Тогда для b ? ?q число N (Ь) элементов j у ? ? = !FgS, для
которых Тг?др (/ (v)) " Ь,
неравенству
I
у доел етворяет Щ
N (Ь) - f
1
я
(п - 1) д^2.
Доказательство. На основании (5.10)
1 я
М(Ь)
2 2% (Tr?/F? х w
•щ
те
х
где внутренняя сумма берется ио всем аддитивным характерам % поля ffr
Меняя порядок суммирования и выделяя часть, соответ-ствующую тривиальному
характеру Хо" получим
N (ft) = 9s-1 -f 3_ V у (ft) У уМ (/ (у)),
1
"ГО
? 'Ill ! -ьш
. i
"•IV , *.*•$/>
я
'iv
:S
X^Xe
y?E
§ 4, Метод Степанова-Шмидта
387
откуда, согласно теореме 5.38,
1
Ч< q
Х=^Хв
x(s)(f(vj)
усе
так как ввиду х ф Хо поднятие x(s) характера % нетривиально. ?
6.62. Следствие. Пусть [ ? F9 [х] - многочлен степени п ^ > 1, причем НОД
(ft, q) = 1, и пусть Е - F?s, где s G N. Тогда число N решений уравнения
у?- у - f (х) в Е2 удовлетворяет неравенству
I N - qs \ (q - 1) (ft - 1) q^2.
Доказательство. Согласно теореме 2.25, для фиксированного элемента у ? Е
равенство р? - р = / (у) выполняется при некотором р С Е Б том и только
том случае, ко^да Тг^д '(/ (у)) =
^ 0. Кроме того, если для элемента у ? ? найдется такое р0 ? ?, что
выполняется равенство р{[ - р0 = / (у), то существует в общей сложности q
элементов р ^ ?, удовлетворяющих условию р? - р = / (у), причем все они
имеют вид р = р0 + с, где с ?
- Таким образом, N = qN (0). Остальное вытекает нз теоремы 6.61. ?
6.63. Пример. В качестве дальнейшего приложения метода, рассмотренного в
этом параграфе, мы приведем доказательство теоремы 5.44 для нечетного q.
Будем использовать обозначения из теоремы 5.43, н пусть Е = F?s. Тогда
К (Xм; а, Ь)= ? х (Тгг/Г (ау + Ьу~')) = ? М(с)%(с),{6.37)
vg?* 4 " eg г,
где М (с) - число элементов у ? ?*, таких, что Тг^д (ау +
fry-ij __ с если р0 - фиксированный элемент поля ?, удовлетворяющий
равенству Тг?д ¦ (р0) = с, то, согласно теореме
2.25, равенство Тг^д (ау + Ьу~1) - с выполняется в том и
только том случае, когда ay + Ьу~1 - р? - р + р0 для некоторого р ? ?, а
это эквивалентно условию ау2-(р? - р + + Ро) У + b = 0. Пусть N - число
решений уравнения ау2 - -' (& - х + ро) У + Ь - 0 в ?2. Тогда из
доказательства следствия 6.62 можно получить, что N - qM (с). При
нечетном q очевидные выкладки показывают, что N является также числом
решений 1) уравнения у2 - (х^ - х + р0)2 - 4ab = f (х) в ?а. Так как f
(х) - -2 (л^ - х + р0), то многочлен / имеет лишь
*) Так как уравнения у% ~ / (#0) и ау% - (#? - х0 + р0) у + Ь - 0 для % ?
Е
имеют в поле Е по одному решению, если f (х0) = 0, по два, если f (%) -
квадрат некоторого элемента нз Е*, и ни одного, еслн f (лг0) не является
квадратом в поде Е> - Прим. перев,
25*
388
Гл. 6. Уравнения над конечнымн полямн
щ
..ж
я
ж
¦tt
простые корни (в силу теоремы 1.68, поскольку аЬ Ф 0). Отсюдщ
следует, что многочлен у2 - / (х) абсолютно неприводим согласно!
лемме 6.54. Поэтому из теоремы 6.57 получаем
N - д$ | < (2д - 1) д^2
:У?|
• >Й
Таким образом, если записать М (с) = ннть, что М (с) =:¦= Nlq, то
получим, что с (6.37) и (5,9) это дает
,s-1
+ R (с) |
R (с) и < 2^/2.
¦
вс пом* В месте
•О
К (%и); а, Ь)
"С IF,
Е IR{c)
ег,
так что по теореме 5.45
R И) х (с)
Е Л (с) X (с)
Е€В>
<
•' ч 'rfi
С
;2с7-о
s/2
$
№
1
S
($1 -[- 0)>
2д ¦ q
s/2
&
Поскольку это неравенство выполняется для всех из леммы 6.55 получаем,
что | ш/ \ ф. #i/2 для / -того, в доказательстве теоремы
L (г) = 1 + Кг + qz2
1>
1, 2, 2.
•1
$
* * 1ЭД?
441,3
sSu^
s. • М/А
'f'.'-ll
5.43 мы установили равенству - mz) (1 - щг)>
•и(r).
(1
из которого, в частности, вытекает, что т&2 = д. Таким образом
¦я
т - й>2
¦1/2
i
Комментарии
м
ГК'
* M-s
и.::
§ 1. Первый важный результат о числе решений уравненн над конечными
полями принадлежит Лагранжу (Lagrange [2]] он состоит в том, что
многочлен от одной переменной степени п ^ 0 иад простым полем fp имеет не
более п корней. Это преду§ ложение справедливо, разумеется, для любого
