Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
поля (см. теорем^! 1.66). Условия, яри которых все п корней принадлежат
основ? ному полю Fg, получены Фейтом и Рисом (Feit, Rees [1]); см
также Schonemann [2], Thouvenoi, Chatelet (Пи Шатуновск [1 ] для случая,
когда д - простое число, а также комментар к § 3 гл. 4. В статьях Mignosi
15], [6] изучаются такие злемеит|1| Ь ? Fg, для которых многочлен / (х) ф
Ь ? [х] имеет deg
различных ненулевых корней в
: ' У"
Теорема 6.1 доказана Кёнигом, а первое опубликованное изложение появилось
в статье Raussnitz [1]. Вскоре ее доказатель- ? ства были получены
Гегенбаузром (Gegenbaner [1]), Кронекером (Кгопескег 17]) и Радошом
(Rados [1]). Доказательства этой ; теоремы можно также найти в работах
Gegenbauer [6], [7] и Redei ПО, ch. 8], а также Tazawa [1 ] для частного
случая. Близкий результат, использующий вместо ранга циркулянтной мат
рицы сумму всех ее главных миноров фиксированного порядка 5
Комментарии
А......
389
установлен в статье Redei, Turan [I]. Как обобщение теоремы Кёнига-Радоша
можно рассматривать формулы, полученные в работах Horakova, Schwarz [!] и
Schwarz [14], которые выражают число нормированных неприводимых делителей
данной степени некоторого многочлена через ранги соответствующих матриц,
В работах Raussnitz ПК Segre [3], [4] н Vaughan Т. Р, [1] показано, что
через ранг циркуляитной матрицы можно выразить также чнсло таких решений
уравнения / (х) - 0, / ? F9 UL которые являются т-ми степенями элементов
нз IFJ. Гегенбауэр (Gegenbauer [4 ]) получил аналогичное выражение для
числа общих ненулевых корней двух многочленов. Вопрос же о существовании
общих корней двух многочленов можно решить с помощью теории результантов
(см. § 4 гл. 1); в связи с этим см. также Rados [3] и Vogt, Bose [1].
Гегенбауэр (Gegenbauer [2]) использовал результанты в формулах для числа
общих ненулевых корней двух многочленов, а также для числа различных
ненулевых корней одного многочлена над простым полем IFP; см. также Оге
[1]. Другие типы формул для числа решений полиномиального уравнения / (х)
= 0 в конечном простом поле см. в статьях Bellman [1] и Cazacu [1]. Ope
(Ore [7]) указал оценку для числа решений в поле IFP уравнения а0 + atx +
... ...+ яр_2Хр"2 = 0, коэффициенты которого удовлетворяют некоторому
линейному рекуррентному соотношению.
Для / G IF9 [х ] число N решений уравнения / (х) = 0 в поле JFV можно
определить по модулю характеристики р поля Тя с помощью следующего
простого закона, найденного Лебегом (Le-besgue [13):
N= J [] -/ (с)я~х ] (mod p).
Этот прием был затем развит в работах Cipolla [3], Dickson [19] и Hurwitz
ПГ Другой подход был применен Шварцом (Schwarz 13]), который показал, что
еслн / - нормированный многочлен без кратных сомножителей, то N = Тг (В)
(mod р), где Тг (В) обозначает след матрицы В = {Ьи), определенной
выражением (4.4). Этот метод обобщен в статье Шварца Schwarz 1133; см.
также комментарии к § 1 гл. 4. Сравнение по модулю р для числа N получено
также в статье Mignosi 17]. Сравнения по модулю р для числа общих корней
конечного множества многочленов, которые не являются корнями никакого
многочлена из другого конечного множества многочленов, можно найти в
статье Mignosi
13].
Много результатов о числе решений уравнения / (х) = О получено для
различных специальных классов многочленов /. Так, о кубических
многочленах f и многочленах f четвертой степени см. работы Bose, Chowla,
Rao [3], Carlitz [103], Cazacu,
390
Гл. 6. Уравнения иад конечными полями
Ii
•Я
f
¦ •Mg
41
Simovici [J], Cordone [1], Dickson [40, ch. 8], Leonard [31, [41
Minmanoff [1], Oltrarnare [1], Redei [5], [6], [10, ch. 11}, Schwarz [3],
Segre [10], Skolern [1], [2], [4], Thouvenot f 1 ],
Thouvenot, Chatelet [1], Вороной [1, гл. 1], [2] и Гребенюк [2]. Особенно
простым является случай, когда f - двучлен; для проЙ| невольного
конечного поля fq он был рассмотрен ДедекнндощТ (Dedekind [1]), но для
простых конечных полей он привлек внимание исследователей значительно
раньше (см. обширную? библиографию в книге Dickson [40, ch. 7]).
Относительно трехТ> членов см. Leonard [2], Liang [1], Segre [10] и
Vilanova [1]. О линеаризованных и аффинных многочленах / см. Berlekamp •
[4, ch. 11], Liang [I], Segre [10] и Vilanova [1]. Карлиц (Car-;1 litz
[118]) доказал, что для q > kx > > ... > ks ^ 1 существ
вуют элементы аг, ..., а& ? |Го" такие, что многочлен а
' '^1 I ;iT * •. и
"4#
:.:т
-f asx '" + 1 имеет по крайней Mepes различных корней в поле f к Леонард
(Leonard [1]) получил с помощью доказательства n$ff работы Birch,
Swlrmerton-Dyer [1] асимптотическую формул^ для числа элементов Ь С Fg,
таких, что многочлен / (х) Щ имеет заранее заданное число корней в поле
Fff, в предположении it что / является многочленом определенного вида. В
статье Whited} man [4] устанавливается зависимость между квадратичным
разТр биением простого числа р и числом решений квадратного и кубичеТ|?
ского уравнений над полем fp. Методы отыскания корней много-;, членов
