Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Dalla, Porter [23, Porter [14] и Porter, Mousouris [13, где изучается
уравнение Xi ... XnAYt ... Ym = В. В последней статье имеются также
результаты об уравнении ЛХ1 ... ХпС - В. В статье Porter, Mousouris [31
398
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
V
1 тщ
"*'т ш
<::й
... У! * * *!.'
щ
рассматривается матричное уравнение АХ1 ... Xn = BYy Об уравнении ХА + CY
В и его обобщениях на случай большего числа неизвестных см. Hodges [28],
[29], Plesken [1 ], Porter [191 и Porter, Mousouris [4]. Об уравнении
AxXt +
...+ АпХп = В и его обобщении см. Porter [18] и Hodges [30
соответственно.
Многие работы посвящены так называемым инволютивны4 матрицам, т. е. таким
матрицам А, для которых А2 - /, где / единичная матрица. Число
ннволютивиых матриц порядка над полем Fg определено Ходжесом (Hodges
[12]); см. така#] Brawley [2]. Различные перечислительные задачи для
специал^ ных классов инволютивных матриц решались в работах Brawlegf;
Levine [2], Fulton J. D. [1], [2] и Perkins, Fulton [1]. Bonpd|5 о числе
решений некоторых уравнений от инволютивных матрц|| рассматривался в
статьях Fulton J. D. [3], [4] и LewitC л Brawley [1 ]. Об инволютивных
матрицах над кольцом см. Brawley, Gamble [1]. Матричное уравнение вида
/(X) где f - заданный многочлен над полем изучалось в сш* Hodges [11];
см. также Brawley, Mullen [11. Ходжес (Hodg
[14]) определил число решений системы матричных уравнец ахХ + bxY = схI,
а^Х2 + ЬгУ2 - с2/, где аи а2, blt Ъ% ? J
С.? ? iFg-
Число пХп-матриц над простым полем Fp, имеющих задаиц "
т
тм
¦у?
значение определителя, было подсчитано Жорданом (Jordan Щ [7]) и Файном и
Нивеном (Fine, Niven [1]). Уравнения в опредедЩ телях, содержащие
неизвестные матрицы, изучались в статьЩ Carlitz [51], [55], [601 и Hodges
[131, [201. В коммента|шЩ к § 1 гл . 8 мы еще встретимся с результатами о
числе матрД| некоторых типов, например заданного размера или ранга.7'Cff
§ 3. Интерес к диагональным уравнениям (отличным от л нейных и
квадратичных) возник из теории циклотомии, где сматрнвались уравнения
вида ахк + Ьук = 1. Эта теория ходит к Гауссу; в статье Gauss [1]
рассматривается случай т кого -уравнения с к - 3, а в статье Gauss [3 ] -
с к - 4. О
Ж
х;
гих ранних результатах для этих случаев см. также Libri [2] Lebesgue [1
]. Связь такого уравнения для произвольного к с лотомическими числами
(см. комментарии к § 3 гл. 5) и суммам Гаусса и Якоби была подробно
изучена Куммером (Kummer E4*pg|
[5]* [6]). Классическое изложение этих результатов дал Бахмй"* (Bachmann
[1]); о более поздних результатах см. Storer А1атематики прошлого века
(кроме ранее упомянутых см. такно^ Carey [1], Pellet [8], Pepin [11 и
Schwering [11) рассматривал*" лишь простые конечные поля Fp. Обобщение
результатов мера на случай произвольного конечного поля (F^ было чено
Митчеллом (Mitchell Н. Н. [1], [2]). Интерес к ^циклЖ; томии был
возрожден важными результатами Диксона
b
Комментарии
399
[441, [45], [46], [47]). Вычисления циклотомических чисел
низкого порядка, начатые статьями Диксона, были продолжены о работах
Baumert, Fredricksen [1 j, Berndt, Evans [13, Bruck [2], Evans, Hill [1],
Leonard, Williams [3], [5], Muskat [4], [6], [71, Muskat, Whiteman [1],
Parnami, Agrawal, Rajwade [3], Storer [2], Wells, Muskat [1] и Whiteman
[9], [10], [11]. О дальнейших результатах по циклотомическим числам,
таких, например, как, соотношения между ними, см. работы Baumert, Mills,
Ward [1], Hall [7], Hull [1], Kutzko [1], Myerson [5), Redei [8], Storer
[3], [4], Vandiver [9], [11], [12], [14],
[15], [17], [19], [20], [21], [22], Venkatarayudu [П и Whiteman [3], [5],
[6], [14].
Уравнение axk + bxk = с рассматривалось также и независимо от теории
циклотомии. Сколем (Skolem [33) показал, что для каждого простого числа р
Ф1 уравнение а?* -f bt? = с при заданных a, bt с С FJ имеет решение в Fpi
см. также Dun-ton [1 ] и Nagell [П. О случае k - 3 кроме уже
упоминавшихся лабот Гаусса, Либри и Лебега см. также Cohen Е. [9],
Ireland, Rosen [1, ch. 8], Pepin [1], Singh [4] и Vaidyanathaswamy [21.0
случае k = 4 см. Parnami, Agrawal, Rajwade [1 ]. Результаты, относящиеся
к случаю произвольного kt имеются в работах Chowla I. [1], [3], Chowla S.
[12], Ireland, Rosen [1, ch. 8], Small [1], [2], [3] и Vandiver [3], [4],
[13]. О связи уравнения хк yk ~ j над простым полем tp с проблемой
раскрашивания графа см. Greenwood, Gleason [1].
Более общее уравнение axkl + Ьук• = с было впервые рассмотрено в статьях
Pellet [3] и Piuma [11.0 дальнейших резуль-тах см. Chowla I. [2],
Davenport, Hasse [1], Hua, Vandiver [3],
Mordell [5], Vandiver [5], [6], [9], [12], [14], [15], [17], [18], [19],
[201, [2Ц, 122], [23], [25], Whiteman [5] и Williams K. S. [23]. Таблицы
решений для таких уравнений построены в работах Lehmer, Vandiver [1],
Pearson, Vandiver [1], Selfridge, Nicol, Vandiver [lj н Vandiver [24]. В
случае когда одно из чисел kt равно 2, мы приходим к эллиптическим или
