Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
ги-перэллиптическим уравнениям (ср. с комментариями к § 4). Об
аналогичном трехчленном уравнении см. Albert [43.
Уравнение вида axk + byk + czk d (чаще всего с а - b = 1, с ± 1" d = 0)
широко изучалось в связи с последней теоремой Ферма. Ранние результаты о
существовании нетривиальных решений (т. е. решений с ж, у, z Ф 0) этого
уравнения над конечными простыми полями для d = 0 получены в статьях
Cornacchia [1], Dickson [25], [26], Hurwitz [2], Mantel [2], Pellat [8],
Pepin [1], Schur [lj и Wendt [1 ]. Списки случаев, когда возможно лишь
тривиальное решение, приведены в статьях Cornacchia 111 и Dickson [14],
[17], [21]. Обзоры этих результатов можно найти в следующих монографиях:
Bachmann [6], Dickson [41,
400 Гл. 6. Уравнения над конечными полями *
------------------------------------------------------------- I
ch. 26], Mordell [21 и Ribenboim [2, ch. 12]. См. также деталь- j ное
исследование в книге KJosgen [1]. В статье Ankeny, Erdos [1] указано
условие, при котором уравнение xk + ук + zk - О I имеет в FJ лишь
тривиальные решения, а в статьях- Vandiver JJ [61, [10] изучается
уравнение axk + byk Н~ сгк = 0 над произЩ вольными конечными полями.
Диксон (Dickson [48]) использовав циклотомию для получения результатов о
числе решений урав-Я нения axk + byk + czk - d над простым полем FP.
Уравнение вида ах3 + Ьф ~f- czs - d изучалось в статьях Chowla, Cowles"
Cowles [lj, [21, [3], [4], Cohen E. [7], [9], Lewis [2], Schupijj ler [1]
и Selmer [1], Об уравнении xd + У4 - z* = 0 над поле?Д Fp см. Dickson
[26]. Уравнение xk + yk zk -- 0 над полещ! F?s где к =' q ~F 1 или к = qb
+ 1, рассматривалось в статьи Ennola [1]. В работах Segre [11] и
Hirschfeld [1] определяете!" число решений уравнения х?+[ -{- уч+1 +
~ 0 над полям(tm)
F?a и fqi. Связи между диагональными уравнениями над коЯ нечными полями и
диофантовыми уравнениями типа рассмотренногой! в последней теореме Ферма
широко исследовались Вандиверогю (Vandiver [11, [3], [4], [13], [181,
[21], [23]); см. также Khadyfj zhiivanov, Nenov [11 по поводу недавних
результатов. Щ
Подход к диагональному уравнению (6.10), основанный иа|1
тригонометрических суммах, применялся еще Пелле (Pellet [6])'|И для
случая, когда b - 0 и все kt равны друг другу. Метод, опи-Д санный для
общего случая в § 3, был разработай приблизительной в одно и то же время
в статьях Furtado Gomide [1], Hua, Van-J diver [1], [2] и Weil [6]. О
дальнейших результатах, связанных Я с применением тригонометрических сумм
к уравнению (6Л0),Щ см. Ankeny [2], Faircloth [1], [2], Faircloth,
Vandiver [2], Hua,fj Vandiver [4], Ireland, Rosen [1, ch. 8, 10], Joly
[3], [5], Mor-'jj dell [23, ch. 6], Pearson, Vandiver [1], Schmidt W. M.
[3, ch. 4]* Я Whiteman [71 и Боревнч, Шафаревич [1, гл. 1]. Равенство
(6.15) * выражает тот факт, что дзета-функция гиперповерхности, опре-уи
деленной уравнением (6,10), удовлетворяет предположениям* Вейля (см. Weil
[61); ср. также Ireland, Rosen [1, ch. И] и j комментарии к § 4. О
результатах, аналогичных теоремам 6Л6;1 и 6.17, но когда среднее берется
по уравнениям (6.10) с фикси-Jj рованиыми значениями kit кп и
изменяющимися коэффици-ентами alt апу см. Carlitz, Corson [1], [21 и
Schmidt W. ^tj [3, ch. 4]. Оценки для числа решений уравнения, (6,10)
можящ|{§ получить также и без использования тригонометрических сушШщ см.
Mordell [5] и Schmidt W. М. [3, ch. 41. Асимптотическд^Я формула для
числа решений уравнения (6.10) была получе|(^И Карлицом (Carlitz [341).
Вандивер (Vandiver [71) построил 4м1 горитм для нахождения решений этого
уравнения. ГегенбауДД (Gegenbauer [51) рассматривал уравнение (6.10) над
проем" полем Fp, р > 2, для случаев, когда числа kt принимают зн&яВИ
Комментарии 401
ния 1, 2 или (р - 1)/2. Результаты, касающиеся распределения решений
уравнения (6.30) над простым полем Fp, получены в статьях Chalk [1],
Tietavainen [7] и Williams К- S. [23]. Оценка числа решений уравнения
(6.10) при условии, что некоторые переменные хi имеют заранее заданные
порядки в группе FJ, получена Карлицом (Carlitz [37], [571).
Тот частный случай уравнения (6.10), когда все показатели kt совпадают,
привлек внимание главным образом в связи с проблемой Варинга
представления чисел суммами данного числа k-x степеней. Рекуррентные
формулы для числа решений такого уравнения были получены Лебегом
(Lebesgue [11) и Халлом (Hull |1}). Сегре (Segre [101, [11]) при изучении
таких уравнений применял геометрический подход. О дальнейших результатах
см. Dickson [46], [47], [48], Hull [1], Myerson [2], [31, Williams К. S.
[17] и Демьянов [1]. Случай, когда* все ft* равны 3, рассмотрен в статьях
Chowla, Cowles, Cowles [1], Myerson И ], Segre [10] и Williams К. S. [1
], о случае, когда все kt равны 4, см. Myerson [11 и Segre [10], когда
все kt равны 5, см. Hayashi
[1] и Segre [10] и, когда BceJs* = 7, см. Segre [10]. Случай, когда
уравнение (6.10) рассматривается над полем и общее значение всех ki
