Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
является делителем числа q -J- 1, рассмотрен Карлицом (Carlitz [711). О
связи с проблемой Варинга см. Hardy, Lit-tlewood [3], [4 3, а также Ayoub
[1, ch. 41, Ellison [1], Hua [9, ch. 8 3, Huston [1], Kloosterman [41,.
Landau [2, part VI],
14], Siege] [2] и Vaughan R. С. [1, ch. 2].
Результат, полученный в примере 6.38, по существу принадлежит Смоллу
(Small [2]). Согласно замечанию 6.25, каждый элемент поля fq можно
представить как сумму двух квадратов. За исключением случаев q = 4 и 7,
каждый элемент поля Fq можно представить также в виде суммы двух кубов;
см. Skolem [3] и Nagell [1 ] для случая простого q и Singh [4] для общего
случая. Существуют примеры, когда некоторые элементы поля не могут быть
представлены в виде суммы какого бы то ни было числа k-x степеней,
поскольку все суммы k-x степеней могут содержаться в каком-либо
собственном подполе поля Fr Так, если q - ре, где р - простое число, то
необходимым и достаточным условием представимости каждого элемента fg в
виде суммы k-x степеней является отсутствие у числа k делителей вида (д -
- I)t(pd - 1), где d - собственный делитель числа е или 1. Это было
доказано в статье Tornheim [1] для простого числа k и в статье Bhaskaran
[1] для произвольного натурального числа k; см. также Anderson [1] и Joly
[1], [5]. Проблема Варинеа состоит в нахождении наименьшего числа g (к,
р) из натуральных чисел п, таких, что любой элемент поля fp можно
представить в виде суммы из п k-x степеней. Эта проблема становится
тривиальной, если d = НОД (к, р - 3) > (р - 1)/2. Для d < {р -
26 Зак. 222
402
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
1Г
II
!!
- 1)/2 Харди и Литтлвуд (Hardy, Littlewood [4 I) показали, что g (k, р) <
к; см. также Chowla, Mann, Straus [1], Dickson [47], Joly [53, Landau [2,
part VI ] и Tornheim [I ] о близких к этому результатах. Первая оценка
вида g (k, р) - О (кс) с показателем с. < I была получена в работе Chowla
1. [4 3. В статье Dodson [2] эта оценка улучшена до показателя с = 7/8, в
работе Tietavainen [13] получено с ~~ 3/5 + е для любого г > 0, и,,
наконец, в статье Dodson, Tietavainen [1] показано; что в предположении d
< (р - 1)/2 всегда выполняется оценка g (fe, р) = О (fe!/2 (log fe)2).
Последняя оценка является наилучшей возможной в том смысле, что в той же
самой статье построено бесконечное семейство натуральных чисел к, таких,
что
г (*. р) (yTk - I)/2 для некоторого р, удовлетворяющего не* равенству d <
(р - 1)/2. Другие результаты о числе g (к, р) см. в работах Bovey [4] и
Small [13, [3]. Аналогичный аопрос для произвольных полей fq
рассматривается в статьях Schwarz [5], Stemmier [1], Tietavainen [б] и
Tornheim [1]. Случай более об-Ц| щих колец рассмотрен в статьях Chinburg
[1] и joly [13. В paCll боте Odlyzko, Stanley И 3 оценивается число
подмножеств группЩ FJ, для которых сумма k-x степеней элементов равна
заданном^ элементу поля Fp. Cf
Условия, при которых диагональное уравнение агх% +
...+ ап^п Ь с данными коэффициентами аг ? FJ имеет
a F" для любого Ь С были получены в работах Landau part VI3, Dickson
[473, Redei [3] и Chowla, Mann, Straus для простого q ив работах Schwarz
[6 3, [83, [91, [103 и tavainen [9 3 для общего случая. При b = 0
возникает вопрос^ о нетривиальной разрешимости этого уравнения. Из
следствий'/ 6.6 вытекает, что нетривиальное решение (т. е. для которого/'
не все Xi равны 0) существует, если п > к. Небольшие усилений/ этого
результата получены в статьях Dickson [47] (см. также | Davenport, Lewis
[5], Docev, Dimitrov [13 и Joly [5]), Cray [ 1 1. Lewis [33 и Tietavainen
[9]. Обозначим через G (к, p) наименьшее из натуральных чисел я, таких,
что уравнение aLxJ + .С
иа
4 апхп - 0 имеет нетривиальное решение в FP для любых alt . ап € Важным
достижением стал результат С. ЧовлЫ (Chowla S. [93, [15]), который
показал, что для любого ?>0 выполняется неравенство G (к, р) < (2 f- г)
log2 к для достаточно больших простых чисел к. Аналогичный результат был
установлен в статьях Chowla, Shimura [13 и Tietavainen [1]. 121 для всех
достаточно больших нечетных чисел к. Верхняя граница для чисел G (к, р)
порядка log2 к была установлена Човлой (Chowla S. [8], [10]) при условии,
что элемент -1 является fe-Й степенью в поле Fp; этот результат был
обобщен на случай Про/ извольиого поля в работах Tietavainen ИЗ, [2 3 и
Heislef
/ '"ф.П
Комментарии
403
[2]. В статье Tietavainen [11] установлен наилучший возможный результат"
а именно G (fe, р) < (1 + е) log2 fe для всех достаточно больших нечетных
чисел fe. В статье Dodson [2] показано, что G (fe, р) < fe{2/3) +s для
всех достаточно больших четных чисел fe, не делящихся на р ¦- 1, а в
статье Tietavainen [163 показатель улучшен до 1/2 + е. Аналогичные
исследования для кольца Zilpr) были проведены в статьях Bovey [13, [23,
[3], Chowla S. [15], Chowla, Shimura [1], Davenport, Lewis [5], Dodson
[13, [3J, [41, Hardy, Littlewood [41, Hua [9, ch. 8], Huston [1], Norton
