Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Теорема Римана-Роха используется также в доказательстве Бом-бьери
(Bombieri [5]), которое в остальных отношениях элементарно; см. также
Bombieri [6]. Другие доказательства, а также обзоры результатов Вейля
можно найти в следующих источниках: Deuring [3], Joly [5], Lang [1, ch.
6], Monsky [13 и Swin-nerton-Dyer [3]. В статье Bombieri [1] показано,
что число Ns асимптотически равно q8 при s-^-oo, при этом используется
гораздо более простая техника; см. также Andrews [1] и Chowla, Hasse [1
]. Пименов [1 ] изучил распределение чисел N3 - (q$ + 1) для кривых рода
g > 1. Исследование нулей дзета-функции Z (t) было предпринято
Елистратовым [4], [53. В статье Armi-tage [23 была отмечена связь между
гипотезой Римана для кривых и геометрией чисел над полями рядов Лорана
характеристики р. Уточнения верхней границы для числа были получены в
статьях Ihara [13 и Манин [5 3.
Формально иной подход к уравнению / (х, у) = 0 базируется па изучении
расширения поля (х) рациональных функций над полем определяемого этим
уравнением, т. е. на изучении соответствующего поля алгебраических
функций. Такая точка зрения позволила Артину, Дэвенпорту и Хассе (см. Art
in [1], Davenport, Hasse [13 и Hasse [23, [43, [83) доказать гипотезу
Римана для некоторых частных случаев даже раньше Вейля. При таком подходе
определяется некоторая функция ? (называемая конгруэнц-дзета-функцией) по
аналогии с дзета-функцией Дедекинда для полей алгебраических чисел.
Конгруэнц-дзета-функдия, однако, связана с дзета-функцией Z для
соответствующей кривой равенством ? (и) =¦- Z (q~u). Гипотеза Римана
равносильна утверждению, что действительные части всех нулей конгруэнц-
дзета-функции ? равны 1/2. Это совершенно аналогично до сих пор не
доказанной гипотезе Римана в классической аналитической теории чисел, с
той лишь небольшой разницей, что конгруэиц-дзета-функция не имеет
тривиальных нулей. Конгруэнц-дзета-функция была введена Артином (Artin
[1]) для случая квадратичного расширения поля !Fp (х) и Шмидтом (Schmidt
F. К- [21, [3 3) для общего случая. Шмидт (Schmidt F. К. [3]) доказал,
что конгруэнц-дзета-функция ? удовлетворяет функциональному уравнению F
(и) = F (1 - а), где F (а) и ? (и) и g- род
кривой. Xacce (Hasse [3 3) установил, что если 9 - максимум
408 Гл, 6, Уравнения над конечными полями
ущ
¦Ж
действительных частей нулей функции то для введенного вьпщ числа Ni
справедлива оценка
I - Ц - i I < 2gq(r)>
.. L
а также что 1/2 < в < 1, если g > 0. Верхняя граница для # была улучшена
Дэвенпортом (Davenport [7]) еще до того, каж Вейль показал, что 0 - 1/2.
Связь между гипотезой Римана коигруэнц-дзета-функции $ и точными оценками
некоторых значений характеров была отмечена Xfacce (Hasse [5]). До к аза*
тельства гипотезы Римана, использующие теорию полей алгебра! ических
функций, были получены (после Вейля) в рабртах Igus#
[1 3 и Roquette [1 ], [2]; см. также E/chler Л, ch. 5] и Hasse [481c|jj
Об общей теории конгруэнц-дзета-функций (или дзета-функций для полей
алгебраических функций над (Fflj см. также книгу Deuring [4, ch. 3].
Нижняя граница для рода g, зависящая, ot/f степени соответствующего поля
алгебраических функций над полем ГДя), была установлена в статье Armitage
[1]. Что касается теории полей алгебраических функций над конечным#
полями, то ее зачатки появляются еще у Кюне (КнЬпе [2]). Своего-Щ полного
развития эта теория достигла в работах Artin [ll,yS Schmidt F. К* [11,
Sengenhorst [1] и Rauter [1 3, [2], что и привело к отмеченным выше
результатам. ;¦
Важным частным случаем рассмотренной выше проблемы является случай
эллиптических уравнений {эллиптических кривых, полей эллиптцческих
функций) над конечным полем (Fr Этот случай выделяется условием g = 1 и
приводится при нечетном q к виду уъ = / (х), где степень многочлена / ?
[х] равна 3 ¦
или 4 и его дискриминант отличен от 0. Именно для этого случая Хассе дал
доказательство гипотезы Римана, аинонсировав его в работах Hasse [4], [6]
и приведя подробное доказательство в статье Hasse [8]. В частности, он
показал, что число N решений л в [FJ указанного уравнения удовлетворяет
неравенству у
| N - q f т| (а) | < 2q^t
Где^ - квадратичный характер поля IF* и а - коэффициент при я4 многочлена
/ (я). В статьях Artin [1 ] и Hasse [2] гипотеза Римана была доказана для
некоторых частных полей эллиптических функций; см. также Hasse [17].
Более слабые оценки для N были получены в статье Mordell 15].
Элементарное доказательство приведенной выше оценки для N было дано
Маииным 1 j 3 для случая простого числа q и deg (f) = 3; см. также Zimmer
ИЗ, Гельфонд, Линник [1, гл. 10] и Елистратов 13]. Рациональность дзета-
фуикцйи эллиптической кривой можно установить довольно просто (см.,
например, Robert [1, ch. 4]).
История эллиптических уравнений восходит к Гауссу (Gauss 133), который
рассмотрел уравнение у% ~ ax* + b над полем JFP.
• I * > •
:•!
U
Комментарии
409
В последней записи своего дневника Гаусс поставил вопрос об определении
