Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваются в § 3 гл. 4.
1 .:-s*r
' Щ
41
•0*
.-.•УЛ
'-.У*
• :•
' >
¦ -V*. V
Ыр
¦<у
Следствия 6.6 и 6.9 принадлежат Шевалле (Chevalley 11])4;:р тогда как
усиления, содержащиеся в теоремах 6.5, 6.8 и были вслед за тем
установлены Варнннгом (Warning [1]). Ре зультат следствия 6.6 был
сформулирован Диксоном в статье Dickson [28] и доказан там для однородных
многочленов не выше третьей степени, а в статье Dickson [32] - для любых
однородных многочленов над полем Fa- Доказательство теорем Шевалле-
Варнинга можно найти также в следующих источниках: Ах [llcjl Greenberg
[1, ch. 2], Ireland, Rosen [I, ch. 10], Joly [5] Schmidt W. M. [3, ch.
4], Serre [1, ch. 1 ] и Боревич, Щафаревиф [1, гл.1 ]. Другое
доказательство леммы 6.3 см. в работах Dickson [2], 17, part 1, ch. 4];
об аналогичной кратной сумме емс Williams W. L, G. [5], а об аналоге
суммы степеней для квадратных матриц см. Brawley, Carlitz, Levine [1].
Теорему Шевалле можно использовать для доказательства теоремы Веддербёрна
(теорема 2.55); см. Joly [5] н McCrimmon [1 ]. По поводу других ее
приложений см. статьи Ах [2], Ах, Kochen [1], Carlitz [321 и Львов [1].
Результаты типа теорем Шевалле-Варнинга для систем уравнений имеются
также в статье Segre [7]. В стать|;Щ Carlitz [65] показано, что если / С
Fq [хъ ..., хп] -однород^*^ ный многочлен степени п и число N решений
уравнения / (хи .
'' -Л-.ЭД
ь v Aw
Комментарии
391
..., хД ~ 0 не делится на характеристику р поля fg, то для каждого
многочлена g ? {хг хп] степени, меньшей л, уравнение
f (хг, хп) = g (xlt ..., хп) имеет по крайней мере одно решение в F".
Если же N делится иар и при этомg (0, 0, ..., 0) - О,
то число решений уравнения f (хи ..., хп) - g(x 1, ..., хп) в делится на
р, н этот результат можно распространить на системы аналогичных уравнений
(см. Carlitz [87]). О близких к этому результатах для случая deg (/) = /г
см. также Terjanian Ц] и Joly [51. В статье Frattini [2] найдено условие,
при котором однородному уравнению удовлетворяют значения переменных,
отличные друг от друга и от нуля. Результаты Брауэра (Brauer R. [1 ]) о
системах однородных уравнений над произвольными полями можно
рассматривать как обобщение следствия 6.9. Другое обобщение следствия 6.9
для однородных многочленов получено в статье Fulton W. [1 ] о
многообразиях над конечными полями. Теоремы Шевалле-Варнинга для кольца
z!{pb) установлены в работах Browkin [1] и Schanuel [1].
Важным усилением теоремы 6.5 является теорема Акса (Ах [II), состоящая в
том, что еслн f Tq Ub ... хп] - многочлен степени deg (f) = d < п н b -
наибольшее целое число, которое меньше n/d, то чнсло решений уравнения f
(х1} ..., хв) = 0 делится на qb; доказательство этого результата имеется
также в статье Joly [5]. Обобщение указанного результата на случай
системы уравнений получено Катцом (Katz II]). Близкий результат
содержится в статье Delsarte, McEliece [11.0 приложениях теоремы Акса см.
Carlitz [1101.
Однородные многочлены /, построенные в примере 6.7, называются норменными
формами; онн были введены Диксоном (Dickson [16], [28]). Карлиц (Carlitz
[78]) исправил доказательство Диксона (Dickson [16]) н показал, что если
для нечетного q^ > 13 однородный многочлен / С F? *2, *31 третьей степени
обращается в нуль на лишь в точке (0, 0, 0), то он должен быть норменной
формой. Системы уравнений, состоящие нз нор-менных форм, были изучены
Карлицом (Carlitz [87]). Норменные формы представляют собой частный
случай так называемых факторизуемых многочленов (см. Carlitz [12] и
комментарии к § 2 гл. 3). В статье Terjanian [1 ] доказано, что еслн / С
...,хп] - многочлен степени л, обращающийся в нуль на ? лишь в точке (0,
0), то для каждого многочлена g [хъ хп]
степени, меньшей п, существует хотя бы одно решение уравнения
f (хи ..." *") = ? (*ь ¦*., лежащее в F J; см. также Joly [5].
Теорема 6.13 доказана Ope (Ore [!]); см. также Schmidt W. М. [3, ch. 4] и
Боревич, Шафаревич [1, гл. 1]. В работе Schmidt W. М. [31 имеются также
теоремы 6.15, 6.16 и 6.17. Тот факт, что для ненулевого многочлена / 6
•••. хп1
392 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
'Is
ш
i5:!"
число решений уравнения / (*ь хп) = 0 в F2 не превышает^ был отмечен в
статьях Min [2] и Lang, Weil [13, а для к off нечных простых полей также
в работе Hua [9, ch. 2]. Обобщений теоремы 6.13 на случай системы
уравнений можно найти в работа^ Chalk, Williams [1] и Schmidt W. М. [3,
ch. 4]. ~
Теоремы тина теоремы Кёнига-Радоша для полиномиальны^ уравнений от
нескольких переменных и для систем таких ypaslj нений были установлены в
работах Gegenbauer [51, Rados [2j§ и Segre [4], [5], [7]. Сравнения по
модулю характеристик
ноля fq для числа решений уравнения f {х\, хЛ) - О в можно получить
очевидным обобщением закона Лебега, упоминав^ шегося выше; см, Lebesgue
[1], Hurwitz [1], Dickson [19] f|F: Segre [31, [4]. Элементарный подход к
числу решений указанного уравнения был использован в статье Cazacu [2].
