Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 162

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 371 >> Следующая

Вандивер (VarF diver [3]) получил выражение для числа решений уравнений
f (хг хп) - 0 через значения переменных хь являющиеся
тгми степенями в группе FJ Для 1 < t < ft- Редей (Redei [31) показал, что
уравнение / (хь ^ 0 в том и только том слу-
чае не имеет решений в F" если многочлен f 1 - 1 является
I
линейной комбинацией многочленов от одной переменной видй|
А - Xi, 1 i ft, с коэффициентами из кольца fQ [Х\, ..., хп] Робинсон
(Robinson А. [1, ch. 2]) доказал, что если система полиномиальных
уравнений от нескольких переменных над кол^щ цом Z такова, что она имеет
не более т решений в каждом расищ* рении поля Q, то для всех достаточно
больших простых чисел fi система уравнений, получаемая нз исходной
приведением козф? фнциентов по модулю р, имеет не более т решений в
каждом расширении поля fp\ см. также Gilmer, Mott [1].
Множество элементарных результатов доказано для частных типов уравнений
от нескольких переменных. Об уравнениях, со- | держащих однородные
многочлены с непересекающимися множествами переменных см. Carlitz [62] и
Segre [10], а о частном; случае факторизуемых многочленов см. Carlitz
[58] и Willi a ms К- S. [14]. Карлиц (Carlitz [39]) показал, что число
решенй!
уравнения х(tm)1 ... х= / (уи Уг), где ть ftC € IN - v. взаимно простые
числа, можно выразить через число решений;;! уравнения / - Ь, b ? Fy
обобщения этого результата см. в статьях Porter [9] н van Meter [2], [3].
Уравнения и системы уравнений, содержащие элементарные симметрические
многочлены, рассматривались в работах Aberth [1], Carlitz [84], Fine [1],
Mordell [7], Redei [11, ch. 6], Schwarz [15], Sed-
lacek [13 и Аванесов [ 1 ]. Уравнение / (x) (у -- z) F / (у) (z - x) Hr +
/ (z) (x - I/) ^ 0 с многочленом / ? fq [xl изучалось в статье
Ceccherini, Hirschfeld [1]. Определенное внимание привлекли

Г ft#
¦.щ
¦4

<.f< S
Комментарии
393
I
так называемые мультил и ней ные уравнения, k-линейньш уравнением
называется уравнение вида
^1-^11' • • -I- ^2-^21 ' ¦ ' %2к "4" ' ¦ * -I- ^n^nt' ' ' %nh Н
от kti переменных хи, где аь ..., ап, а ? IFg. О таких
уравнениях н системах уравнений см. Carlitz.156], Cohen Е. ?8], Hodges
12], Joly [5], Porter 14], 15], 16] н van Meter [2]. Обобщения на
случай, когда допускаются более высокие степени пе-
ременных Xij, можно найти в статьях Carlitz 139], Porter [7], 19], 1111 и
van Meter [1], 12], [3]. О дальнейших элементарных результатах по частным
типам систем уравнений см. работы Corson [ 1 ], Klein [ 1 ], [2], Mignosi
14], Serge, Bar-tocci 11] и Бабаев, Исмоилов [1]. Число решений уравнения
det /<" ~ а было получено в работах Jordan С. 17]
и Fine, Niven [!]; см. также Carlitz 158], 167] об аналогичных
уравнениях.
В статьях Ах 121, 13] и Fried, Sacerdote 11] рассматриваются алгоритмы,
позволяющие выяснить, будет ли данная система уравнений от нескольких
переменных разрешима не в одном конечном поле, а в целом семействе
конечных полей. О матричных уравнениях над конечными полями см.
комментарии к § 2, а об уравнениях, для которых неизвестными являются
многочлены над конечными полями, см. комментарии к гл. 3. Некоторые
функциональные уравнения над конечными полями изучаются в работах Dickey,
Kairies, Shank [1], Dunn, Lidl 11], Herget 11] и Ltine-hurg, Plaumann
11].
§ 2. Уравнения над конечными полями, содержащие квадратичные формы,
рассматривались еще Лагранжем (Lagrange 13]), который показал, что
уравнение х2 + by2 = с, где Ь, с С Fp при простом числе р, всегда
разрешимо в 1Fp. Это было необходимым шагом при доказательстве его
известной теоремы о том, что каждое натуральное число может быть
представлено в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Простое
доказательство разрешимости этого уравнения в замечании 6.25 принадлежит
Коши (Cauchy 11]), который нашел его, исходя из общего комбинаторного
принципа, переоткрытого впоследствии Дэвенпортом (Davenport [5]). То же
самое доказательство применил Диксои (Dikson [43]). Вебер (Weber 15, §
64]) показал, что каждый элемент конечного поля можно представить в виде
суммы двух квадратов. Формулы для числа решений уравнения
+ by* = с
в 1F| приводятся в работах Hermite U ], Libri. Ц ], Lebesgue 11 ]и
Schonemann Ц]. Более свежие результаты об этом уравнении см. в статьях
Singh 12], 13] н Somer Ц]. Решения уравнения ах2 + by2 - с в IFp с малыми
значениями хну были исследованы в статьях Mordell 19], Smith R. А. Ц] и
Williams К. S. [12].
394
Гл, 6. Уравнения над конечными полями
•V.'S
Вопрос о том, какие решения уравнения х2 + у
г2
О
F Ы
' ••РлР
w
квадратичными вычетами, был изучен в статье Burde [8
Лебег (Lebesgue [1]) установил формулу для числа решени
уравнения х\ + ... + х~п - b в fp, а для произвольных диагой нальных
квадратичных форм над iFp это было впервые сделай!, Жорданом (Jordan С.
[1]); см. также Jordan С. [2, § 197-и Lebesgue [5]. Теорема 6.21 для
простого поля Fp, р >2, доказана Жорданом (Jordan С. 153, 16 3); он же
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed