Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
(G/Я)", который равен |G/#| = \ G\f\H\ согласно теореме 5.5. ?
Переходя к конечному полю F$, сразу заметим, что в нем имеется две очень
важные конечные абелевы группы, а именно аддитивная н мультипликативная
группы этого поля. Поэтому
240
Гл. 5. Тригонометрические суммы
необходимо проводить четкое различие между характерам! соответствующими
этим двум группам. В обоих случаях мы пр ведем явные формулы для
характеров.
Рассмотрим сначала аддитивную группу поля р9. Пусть р характеристика
конечного поля р^; тогда простым полем,
мы
держащимся в р^, является которое с факторкольцом Х1(р). Пусть Tr: р9 ->¦
р лютного следа из Fg в !ГР (см. определенней, определенная равенством
Xi (с) - е2л1Тг<с>?р для всех с^р^,
отождествлю функция або
. Тогда функция
I ¦¦
является характером аддитивной группы поля р^, так как дл;
любых с2 ? f9 мы имеем Tr (?^ + с2) Tr (с*) -f Тг (с2 так что Xi (гх +
с2) - Xi (П) Xi (cs)- Вместо того чтобы говори^ "характер аддитивной
группы поля Р?", будем в дальнейш употреблять термин аддитивный характер
поля Р9. При это характер, определенный равенством (5.6), мы будем называ
каноническим аддитивным характером поля р^. Любой аддити ный характер
поля рд можно выразить через канонический ха рактер Xi-
Р.
конечное поле и b ? р?. То
5*7. Теорема. Пусть " я функция Хь. определенная равенством %ь (с) = Хх
Фс) для с ? является аддитивным характером поля р9. При &
каждый аддитивный характер поля р9 совпадает с характером для некоторого
Ь ? р?.
Доказательство. Для съ с2 ? р^
ш
¦ лщ
ЙЗ-i
V4 "У*.
Ъ (с, + с,) = Xi (bet -f bc2) = Xi (bc^ Xi фсг) = %ь (с,) хь
Н
первая часть установлена.
Поскольку, согласно теореме 2.23 (iii), функция Тг жает поле рд на рр, то
Хх - нетривиальный характер. Пш для a, b ? Fq, а Ф Ь, найдется элемент с
? р?, такой, что
Ха (с) Xl (яе)
ч-и/"
ki
ш
ft.
X" (с) ' Xi (Ьс)
== Xi ((а - Ь)с)Ф i
УХ
так что Ха и Хь - различные характеры. Поэтому когда эл< пробегает поле
р^, мы получаем q различных аддитивных; теров %ь- С другой стороны,
согласно теореме 5.5, су:
Wi
в
ровно q аддитивных характеров ноля р9, так что этим с нсчерпываются' все
аддитивные характеры поля Fr
Полагая Ь = 0 в теореме 5.7, мы получаем тривиаль рактер Хо" обладающий
свойством Хо (<0 - 1 Дл^ всех С Пусть Е - конечное расширение поля р^, Хх
- канон
аддитивный характер поля рд н рг - канонический адди
характер поля Е, определенный по аналогии с (5.6), где
1
§ 1. Характеры
241
Тг, естественно, заменяется функцией абсолютного следа Ti> из Ев fp.
Нетрудно видеть, что характеры %х н связаны следующим равенством:
X,i(Tr?/F?(P)) = |Ч (р) для всех Р??, (5.7)
где - функция следа из ? в F^. Это вытекает из транзи-
тивности функции следа (см. теорему 2.26):
Тг? (Р) = Тг (Тг?/Тз (Р)) для всех р ? Е.
Характеры мультипликативной группы fg поля F9 называются
мультипликативными характерами поля F^. Поскольку
fj - циклическая группа порядка q - I (см. теорему 2.8), то ее характеры
легко найти.
*
5.8. Теорема. Пусть g- некоторый фиксированный примитивный элемент поля
Fff. Тогда для каждого /, О < / < q - 2, функция ф^, определенная
равенством
Ф/ (?fe) = e2niik/te-l) для всех к, 0 < к q - 2,
определяет некоторый мультипликативный характер поля fq. При этом каждый
мультипликативный характер поля fQ совпадает с характером фу для
некоторого /. О < j < q - 2.
Доказательство. Утверждение теоремы сразу вытекает из примера 5.1. ?
Независимо от выбора примитивного элемента g в теореме 5.8 характер ф0
всегда является тривиальным мультипликативным
характером, т. е. обладает свойством ф0 (с) - 1 для всех с ? Fj.
5.9. Следствие. Группа мультипликативных характеров конечного поля
является циклической группой порядка q - I с единичным элементом ф0.
Доказательство. Каждый характер фу из теоремы 5.8, для которого индекс /
взаимно прост с числом q - 1, является образующим элементом группы
мультипликативных характеров
поля fg. ?
5.10. Пример. Пусть - поле нечетной характеристики, и
"Усть на его мультипликативной группе задана действительнозначная функция
т|, такая, что т| (е) " 1 для элементов с, являющихся квадратами
некоторых элементов группы F?, к rj (с) = -1
всех остальных элементов с ? Легко проверить, что ц является
мультипликативным характером поля fg. Он совпадает с характером ф/ из
теоремы 5.8 при / = (q - 1)2. Характер ц
аннулирует подгруппу группы г#, состоящую из квадратов эле-
^ Зак. 222
242
Гл. 5. Тригонометрические суммы
обладаю!
т
П|
ментов этой группы, и, согласно теореме 5.8, он является
ствеиным нетривиальным характером группы F"J, таким свойством. Этот
однозначно определенный характер называется квадратичным характером поля
Fq, Если q - стое нечетное число, то с помощью квадратичного хара
можно определить символ Лежандра из элементарной
рии чисел, полагая где c?fq.
Соотношения ортогональности (5.3) и (5.4), примененные к дитивным или
мультипликативным характерам поля F^, aj водят к некоторым
