Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
фундаментальным тождествам. PaccMOfp сначала случай аддитивных
характеров, для которых мы использовать те же обозначения, что и в
теореме 5,7. Тогда аддитивных характеров Ха и хь мы имеем
•л •
V<Vi
Е Ха (с) и (С)
c?Tq
если а если а
Ь,
Ь.
-Щ -,:-М
В частности,
Е Ха (с)
О, если аф0.
• Нч
"М
Ч •>|,2
• i>i>L
(алее, для элементов с, d С F,
Е Хь (С) Xt, (d) =
b?Tq
Аналогично для мультипликативных имеет место соотношение
0,
I/
если с еслн с - d.
(5
№
характеров ф н т поля
Vi
•л^575
Е 1>Мт(с)
в€Г
если
если
фу=т, ф = т.
'П
(5.11
В частности,
т
2 1|!(с) = 0|
сет,
если ф Ф ф0.
(5.1
''V5-*
Если с, d С F^, то
ш
'ЧЩ
.\-г ^
S 1|1 (с) 1|! (d)
$
О,
я - 1*
если
еслн
с
с
dt
dt
(5.1
где сумма берется по всем мультипликативным характерам поля
Ч'
*
• от.
§ 2. Суммы Гаусса
243
§ 2. Суммы Гаусса
Пусть ф - мультипликативный, ах - аддитивный характеры поля 1%. Тогда
сумма Гаусса 1) для поля F* определяется следующим равенством:
Абсолютная величина суммы Гаусса G (ф, %), очевидно, не превышает числа
q- 1, но, как правило, гораздо меньше, что вытекает из следующей теоремы.
Снова через ф0 будем обозначать тривиальный мультипликативный характер, а
через Хо - тривиальный аддитивный характер поля Г^.
5.11. Теорема. Пусть ф - некоторый мультипликативный, а% - аддитивный
характеры поля fq. Тогда сумма Гаусса G (ф, %) удовлетворяет следующему
соотношению:
Доказательство. Первый случай из (5.14) тривиален, третий сразу вытекает
из (5,12), а во втором случае, согласно (5.9),
б(ч>. х)- Е Ф(с)х(е)-
'q- 1, если ф = х = %о>
х)=' Ь если %Ф%о. (5.14)
\ 0, если X (tm) Хо*
Если же ф Ф ф0 и х Ф Хо* то
с (¦, х)1 = 91/а-
(5.15)
X) = Е х(с) = s х(с)-х(0)= - 1. *
се г*
Если же ф Ф Фо и X Ф Хо. то
I (' Х)|* = 0 (if, х) С (\|з, х) =
= Е Е Ф (С) X (О Ч> (Cl) X (Cl) =
"eF; с, е f;
= Е Е ф (С1^) Х(<4 - с).
"ег; с, еf;
х) Суммы подобного вида называют тригонометрическими (илк экспонен-
Н^*ЛЬНЫМи\ ППЛ1ГЛПИ.1П1> птАтютил ta tiov v^no tr onnoiA'T^tr
Q^rtAUOum/a rri_ ouuo
и теорем 5.7 н 5.8. - Прим перев.
16*
244
Гл. 5. Тригонометрические суммы
¦:т
Введем новую переменную d, полагая во внутренней сумме с~гщ - d; тогда
Е ¦(d)X(c(rf-D)
; rfer;
4№)f E, X<P(d
F q
,..3V5
= E 4(d) E %(c(d
dgF! C€F,
1)) - X (0)
1)),
:'Й
If
где в последнем равенстве использовано соотношение (5. Внутренняя сумма
ввиду (5.9) принимает значение q при d
и значение 0 при d Ф \ , Поэтому |G ОТ х)Р = Ф (0 Я % тем самым равенство
(5Л5) установлено.
Изучая поведение сумм Гаусса прн различных преобразо|| ннях аддитивных
или мультипликативных характеров, получить некоторые полезные тождества.
5.12. Теорема. Суммы Гаусса для конечного поля Fq удовяе ряют следующим
условиям:
(i) G ОТ %аЬ) = $ (a) G ОТ %ь) для a?Fj, 6CF*;
(ii) G 0i>, x) - f (-1) 0 №. X);
(iii) G (*, x) " ^ (-1) О ОТ x);
(iv) G 0T x) О (-ф, x) = $ (-1) q для i)ф ifo, x Ф Xoi
(v) G OF* хь) = 0 ($, %o {b)) для b?Fq, где p - характер стика поля FQ и
a (b) = bp\
Доказательство. (i) Согласно определению из теоремы tab {с) = %1 (abc) =
Хь (ac) Для любого с с Fe. Поэтому
G №. Xab) = Е 'l' (с) ХаЬ (С) = Е 'I' W Хб (ос).
Введем теперь новую переменную d, полагая d = ас. Тогда
ш
<у{
¦ т
0(4, Хаь)= Е 4 (a_1d) Хь (d)
d€ F!
s-V.#
й/
' h
4' (a-1) E 4 (d) Хь (d) = 4 (a) G (4. Хь)-
d€F.
(ii) Согласно теореме 5.7, x = выбранного элемента b С F* и
Хь для подходящим обра: X (с) = Хь (-с) = Х-ь (с)
любого с ? Fr Поэтому, используя (i) прн а = -1 и замеча что ^ (-1) = ±1,
получаем
G ОТ %) = G ОТ х~ь) == $ (-1) С ОТ Хь) = Ф (-1) <? 0F Х>*
§ 2. Суммы Гаусса
245
(iii) Из (ii) вытекает, что G (ф, %) - ф (-1) G (ф, %) - ^ ф (-1) G (ф,
%).
(iv) Комбинируя (iii) и (5.15), получаем, что
о (ф, х) О (ф, х) = Ф (-0 С (Ф. X) О (ф, х) =
= ф (-1) * IG (ф, Х)|2 = Ф (-1)
(v) На основании теоремы 2.23 (v) Тг (а) = Тг (ар) для а ? ? F?,
поэтому согласно (5.6), ул (а) - Xi {аР). Таким образом, для любого с ?
получаем
%ь (с) = Xi фс) = Xi (*>р?р) = Хо (6) {с%
а потому
о OF. Ул) = S '0Р (С) '/6 (с) = S t (F) Хо (") (с").
•ег; .<ег;
Но когда с пробегает группу FJ, ср тоже пробегает F*, так что отсюда
вытекает требуемый результат. ?
5.13. Замечание. В связи с доказанными свойствами сумм Гаусса
представляет интерес значение ф(-1). Очевидно, что ф (- 1) = ±1.
Пусть т - порядок характера ф в группе мультипликативных характеров
поля Fg, т. е. т - наименьшее на-
туральное число, обладающее свойством фм = ф0. Тогда т делит чнсло q - 1,
так как ф?-1 - ф0. Поскольку значениями характера ф являются кории m-й
степени из единицы, то значение -1 может получиться лишь в случае четного
числа т. Если g - примитивный элемент поля Fg, то ф (g) = ?, где ? -
первообразный корень m-й степени из единицы. Если т четно (и, значит, q
нечетно), то в силу примитивности g ф (-1) - ф (gto-D/2} - ^ ^to-о/(r);
Полученное число равно -1 в том и только том случае, когда (q - 1)/2 =
m/2 (mod т), т. е. когда (q - l)/m = = 1 (mod 2). Поэтому ф (-1) = -1
