Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
числами, которые часто не поддаются решению другими методами. Такие суммы
можно рассматривать и в теории конечных полей, причем и здесь они
оказываются весьма полезными - например, при исследовании вопроса о числе
решений уравнений над конечными полями (см. гл. 6), а также в различных
приложениях конечных полей.
Прн использовании тригонометрических сумм в теории конечных полей главную
роль играет некоторая специальная группа гомоморфизмов, называемых
характерами. Нужно различать два типа характеров - аддитивные и
мультипликативные - в зависимости от того, с аддитивной или
мультипликативной группами данного конечного поля связаны упомянутые
гомоморфизмы. Тригонометрические суммы образуются из значений одного нли
нескольких характеров, при этом возможно сочетание нх с некоторыми
функциональными величинами. Когда суммируются значения какого-то одного
характера, то мы будем говорить о сумме значений характера.
В первом параграфе мы получим основные соотношения для характеров,
сначала рассматривая произвольную конечную абелеву группу, а затем
переходя к конечным полям. В § 2 будут изучаться суммы Гаусса, бесспорно
являющиеся самым важным типом тригонометрических сумм для конечных полей,
поскольку они связывают аддитивную н мультипликативную структуры
конечного поля. Они возникают также во многих вопросах алгебры и теории
чисел. С суммами Гаусса тесно связаны суммы Якоби, изучаемые и третьем
параграфе. Эти суммы особенно важны для приложений н Уравнениям иад
конечными полями (см. гл. 6).
Суммы значений характеров с полиномиальными аргументами (иногда
называемые суммами Вейля) изучаются в § 4. Исследование проводится сугубо
элементарными средствами, т. е. без приучения алгебраической геометрии.
Однако этот "элементарный" подход доведен до достаточной степени
совершенства, так что оказывается возможным получить все основные оценки
для сумм Вейля. Рассмотрение указанных сумм значений характеров идет
236
Гл. 5. Тригонометрические суммы
в тесной связи с детальным изучением некоторых типов уравнен" над
конечными полями. Поэтому некоторые возникающие "с бодные концы" удастся
связать лишь в гл. 6, где будут изучен соответствующие уравнения.
В § 5 мы рассмотрим суммы значений характеров специально вида,
представляющие интерес для теории чисел, а именно су Клостермана и суммы
Якобсталя. В связи с одним результат^; о суммах значений квадратичных
характеров в этом же пар? графе рассматриваются разложения в непрерывные
дроби р циональных функций над конечными полями.
А:
¦s
>".•/
кч&-
§ 1. Характеры
Л:
¦ZF
Пусть G - произвольная конечная мультипликативная а лева группа порядка |
G | с единичным элементом 1й. Характеров группы G называется гомоморфизм
из G в мультипликативна группу U комплексных чисел, по модулю равных 1,
т. е. та отображение %: G U, что % (grgt) - % (gi) % fe) для всех ?6,
Посколькух (У " X (У % (У> то должно быть х (У = 1. Далее, для каждого
элемента g?G
(xte))|0| = z(g|0,) = x( ie)-i.
так что значениями характера % являются корни степени из единицы. Заметим
также, что % (g) % (g~*) - % igg~x)
Х(У
s "К** №
1, так что х (Г1) = (% (ё))
I _
X (g) для кажд$
элемента g^G (здесь черта означает комплексное сопряжен
Среди характеров группы G имеется тривиальный характер определяемый
условием х0 (g) ^ 1 для всех g(~G; все осталь характеры группы G
называются нетривиальными, КажДс характеру % группы G соответствует
сопряженный характер
определяемый условием % {g) - % (g) для всех g?G. Для длин конечного
множества характеров %ъ ¦¦¦. Хп группы G можно зовать их произведение Xi
• •• %п, полагая (xi ... %п) (g) - Xi ... Xn (g) для всех g?G. Если ул =
... - %п = х, то _ ние Xi Хп будем обозначать %п и называть п-й степенью
рактера х- Очевидно, что множество G' всех характеров группы образует
абелеву группу относительно введенного умножения й рактеров. А так как
значениями характеров могут быть ли корни степени | G | из единицы, то
группа конечна.
Прежде чем перейти к установлению основных свойств xapjj теров
произвольной конечной абелевой группы О, рассмотЩ один важный частный
случай, когда G - конечная цикличес* группа.
5.1. Пример. Пусть G - конечная циклическая группу рядка н, и пусть g -
ее образующий элемент. Легко убедив
т
(;?
М
Ш
§ 1. Характеры
237
что для произвольного фиксированного целого числа /, 0 С / < п - 1,
функция
I
^ (gb) == ennijk/n = CoS 2njk/n + i sin 2njkjn, k = 0, 1, ..., n - 1,
где г' - мнимая единица, определяет некоторый характер группы G. С другой
стороны, если % - произвольный характер группы G, то % (g) является
некоторым корнем n-й степени из единицы, скажем % (g) = e2ntHn для
некоторого /, 0 < / < я - 1, и, зна-ЧИТ( у = yj. Поэтому группа
характеров О'' циклической группы О ^ (g) состоит из характеров у0, Хь
X"-i- ?
5.2. Теорема. Пусть Н - некоторая подгруппа конечной абелевой группы G, и
пусть ф - характер группы Н. Тогда ф можно продолжить до некоторого
