Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
двучлен:
х* -а неприводим в кольце fq [х] тогда и только тогда, когда ф 1-
4.19. [Тусть /- неприводимый многочлен степени п из fq\x\ И п X й-
.мйтрица В {Ьц} определена условием (4.4). Доказать, что
характеристический
многочлен det (х ! - В) матрицы В равен хп - 1, 7
4.20. Пусть многочлен / равен произведению k различных нормировании*"
неприводимых многочленов /ь .... fh нз fq [х] степеней щ, .... nh
соответствен^у Положим deg (/) -- п - пл - ... ф nk и определим п ¦< п-
матрицу В - ipifi у с л ов и е м (4.4). До казать, ч то
характеристический многочлен det (xf - В) мат-
рицы В равен произведению (V1l) ... (х^-(tm)-!).
4.21. В обозначениях теоремы 4,3 доказать, что многочлены Т\ ие ляют тех
неприводимых сомножителей Д многочлена /, для которых *
Nltij делится нл характеристику поля F9, ^v
4.22. Пусть fRfq [х] -¦ нормированный многочлен степени п > Б ипрф делим
многочлен от двух переменных h^fq [х, у\ равенством ;фф
Упражнения
233
и представим его п виде
А (х. У) = sn-i (х) Уп~Х Н + si (*) У + s0 (л).
Доказать, что многочлен f тогда и только тогда неприводим над полем fg,
когда f
гетн-г каждый из многочленов Sj, 0 < / < п - I.
4,23, Применить критерий из предыдущего упражнения для доказательства
приводимости многочлена х7 + хв -|- х3 + х2 + 1 над полем [Г2.
! ' 4.24. Доказать, что квадратный многочлен jF (х) - х2 + Ьх + с
неприво-
[|И\! над полем fj тогда и только тогда, когда он делит трехчлен х?+ х +
Ь.
4.25. Пусть f - неприводимый многочлен степени т нз \х\ и Я - его
корень в поле F т. Доказать, что еслн g н h - ненулевые многочлены
из р? [х],
* Т
ТО многочлен h (х)т / (g (x)/h (х)> неприводим в F? [х\ тогда н
только тогда,
когда многочлен g (х) - АЛ (х) неприводим в кольце IF m ]х].
4.26. Применить метод, использованный в примере 4.7, для разложения
многочлена х4 Зх3 + 4х2 + 2х - 1 над полем Г1а.
4.27. Применить метод, использованный в примере 4.7, для разложения
многочлена х3 - 6х2 - 8х - 8 над полем Fi#.
4.28. Применить алгоритм Цассенхауза для разложения многочлена х4+ Зх3 f
4х2 2х • 1 над полем
1.29. Применить алгоритм Цассенхауза для разложения многочлена х3 - -----
ьх2 - 8х - 8 иад нолем FjS.
4.30. Применить алгоритм Цассенхауза для разложения многочлена хь + Зх4
-г 2х3- 6х2 + 5 над полем F17.
4.31. Разложить многочлен х4 - 7Х3 4х2 + 2х + 4 над полем f17.
4.32. Разложить многочлен х4 - Зх3 -|- 4х2 - 6х - 8 над полем F19.
4.33. Дать подробное доказательство того, что эквивалентность квадратных
матриц из многочленов, введенная в определении 4Л 1, рефлексивна,
симметрична и транзитивна.
4.34. Применить метод, использованный в примере 4.14, для разложения
угндочлена х3 - 6х2 - 8х- 8 над полем F19.
4.35. Применить метод, использованный в примере 4.14, для разложения
многочлена хъ Ц- Зх4 + 2.x3 - 6х2 + 5 над полем Fit-
4.36. Применить метод, использованный в примере 4.14, для получения
члогичного разложения многочлена х7 - 2xG - 4х4 Ц Зх3 - 5ха +¦ Зх + 5 над
полом Fj, и завершить разложение другим методом.
4.37. Найти корни многочлена f (х) х5 - х4 -4- 2хэ 4- х2 - х - 2? С [xl
содержащиеся в поле JF3,
4.38. Найти корни многочлена f (х) - х5 бх4 + 2х3 - 6х2 5х + 5 ? -Гтз [х
I, содержащиеся в поле F13.
4.39. Доказать, что все корни многочлена f (х) - ха + 8х2 + 6х - 7 ?
(¦ F19 U1 содержатся в поле Fie, и найти нх.
4.40. ,|тусть Гза = Г*з (РЬ гДе Р - корень неприводимого многочлена xfi
Д-' Д-Ц t над полем Fa- Доказать, что все корнн многочлена / (х) = х3
Д- (Р4 +
J Р - 1) х'3 Д- р2х Д- (Р4 + Р3 Д- Р + i}? F3a U1 содержатся в
поле F32. н
найти их.
4.41. Пусть [р37 = fg (Р), где р - корень неприводимого многочлена х3- л
- 1 над полем Fa- Доказать, что все корнн многочлена / (х) = х3 Д- х2
-
~ (Ри - Р + I) х + (р2 - 1)6F27 [х\ ^ежат в поле F27' н иайтн
нх.
4.42. Пусть Flea = Fig(P), где Р - корень неприводимого многочлена А;
х -- 1 над полем Fia* Найти корни многочлена / (х) - х2 Д- (ЗР Д- 0
х +
1 Ф "F 5} ? Fl69 {х 1, содержащиеся в поле Figs-
4.43. Пусть f?Fp ]х] и A?F/>, где р - простое нечетное чнсло. Дока-
что если / (х - Ь) - квадратный многочлен с постоянным членом с ф 0,
То разложение (4,22) является нетривиальным в том н только том случае,
еслн с Не является квадратом какого-нибудь элемента нз поля Fp-
234
Гл. 4. Разложение многочленов на множители
Н'
*****
*
4.44. Пусть р - образующий элемент поля F - F3m над Fa- Докдай следующие
утверждения;
(a) Существует чнсло к, 0 ^ т - J, такое, что TrF
(pfe) ~ К
(b) Для каждого i ~ 0, 1, m - ! существует элемент ct* такой,
РД еслн ТгДр*)^,
,,ч 1
? 141 ЧЙ . . iK
pl + pfe. еслн Ti> (Р^) - 1,
где чнсло k определено условием (а).
т-1
(с) Если .у-2 ci€F*. й Tiyfy) -О, Т0 корнями многочл
m-1
х2 + л: + v являются элементы Cj-a* и
t-О
т-1
г=о
щ
-ф
'V-
¦Л'й
Глава 5 Тригонометрические суммы
В теории чисел тригонометрические (или экспоненциальные) суммы являются
важным инструментом для решения различных проблем, связанных с целыми
