Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Штикельбергер (Stickelberger [2]); в литературе этот результат известен
как теорема четности Штикельбергера. Доказательство этого результата
можно также найти в следующих работах: Berlekamp [4, ch. 6], Carlitz
[67], Childs [1, part Ш, ch. 151, Dalen [1], Hensel [21, Lubelski [2],
Redei [6], [10, ch. 11], Schwarz [3], Segre [10], Skolem [5], Swan [1] н
Вороной 12], а один частный случай этой теоремы был рассмотрен в статье
Dickson [9]. Различные варианты теоремы четности Штикельбергера для
случая поля FL характеристики 2 даются в работах Stickelberger [21,
Carlitz [44], Segre [10] и Berlekamp 14, ch. 6], [10]. Еще Пелле (Pellet
[2]) заметил, что теорему четности Штикельбергера можно применить для
доказательства квадратичного закона взаимности (см. теорему 5Л7); см.
также работы Berlekamp [4, ch. 6], Childs [1, part III, ch. 16], Miri-
manoff, Hensel [I], Redei [10, ch. П] и Swan [I].
Мы уже встречались с разложениями многочленов из некоторых специальных
классов. Так, в § 4 гл. 2 рассматривались круговые многочлены, в § 4 гл.
3-линеаризованные и аффинные многочлены и в § 5 гл. 3 - двучлены и
трехчлены. По вопросу о числе корней многочлена (а значит, и о числе его
линейных сомножителей) мы отсылаем читателя к § 1 гл. 6. Таблицы
разложений многочленов и списки неприводимых многочленов представлены в
гл. Ю.
Вопрос о разложимости многочленов четвертой степени изучался в работах
Carlitz [70], [73], Giudici, Margaglio [I], Leonard [3], Leonard,
Williams [1], Skolem [4] и Гребенюк [1]. Разложимость многочленов вида f
(х*) для неприводимых многочленов f рассматривалась в статьях Agou [10],
[11], Butler [2] и Pellet [1 ]. Результаты о степенях делителей
многочленов вида
8 (ХУ - а, полученные Ope (Оге [2]), были обобщены в статьях Petterson
[1], [2], [3], где изучались многочлены вида f (g (х)*) для неприводимых
многочленов f и им подобные композиции. Разложения многочленов вида f (L
(х))у где /-неприводимый, а I - линеаризованный многочлены, изучались в
работах Agou [19], [20], Long [3], [4], Long, Vaughan [I ], [2] и Варша-
м°в [3], [5] ; аналогичные вопросы для многочленов от нескольких
^ременных рассматривались в статьях Carlitz, Long [1] н Long 1Ь]. В
статье Daykin [3] находятся степени и число неприводи-
Ч л*
0 Зйк. 222
226
Гл. 4. Разложение многочленов на множители
мых сомножителей многочлена вида (сх + d) xq - (ах полем В работе
Williams К- S. [25] получено разлсй$ так называемых многочленов Диксона
(см. § 2 гл. 7), а в Сергеева 11 ] - разложение многочленов близкого к
ним i
Некоторые результаты о разложении многочленов Бернулли над конечным
простым полем получены в статье Briff [11. В работе Golomb, Lempel [I]
изучалось разложением: членов, задаваемых рекуррентным соотношением
второго nopsj Фейт и Рис (Feit, Rees [1]) получили критерий разложи;
многочлена /GIF# [х] на линейные сомножители над Щ минах сумм степеней
корней многочлена f. Более ранние pei; таты в этом направлении можно
найти в статьях Schonemanifn Thouvenot, Chatelet [I] и Шатуновскин 111. В
статье Csordas [ I ] охарактеризованы такие последовательности п - О, 1,
..., что если конечное поле fg является полем разл ния для многочлена
%апхп, то оно является полем разложе для многочлена 2 спапхп.
Коэн (CohenS. D. [5], [6]) изучал, как распределяются личные типы
разложения среди многочленов вида f (х) + при заданных /, g UJ и
изменяющемся a CF? (сЩ этом также Leonard [5]}. Кроме того, Коэн (Cohen
S. Г), изучал также распределение типов разложения в классах вы) по
модулю некоторого заданного многочлена и в множ многочленов фиксированной
степени, некоторые коэффнщ|5 которых заранее заданы. Вильямс (Williams К.
S. [11]) по асимптотическую формулу для числа N (q, d, s, е) нормировав
многочленов дайной степени d над полем fg, имеющих ро различных
неприводимых нормированных делителей степ над |F?. В статьях Саг [5],
[7] и Cohen S. D. [3] приво;
асимптотические формулы для числа нормированных много заданной степени
над имеющих определенные типы раз иия; о случае, когда степень
многочленов ограничена натуральным числом, см. статью Gogia, Luthar [I].
В р Zsigmondy [2] найдено число нормированных многочленов степени п над
простым полем (Fp, имеющих заданное число личных корней в поле fp, и для
каждого d, I ^ d -% п, по тано также число нормированных многочленов
степени п на; не имеющих неприводимых делителей степени d.
При фактическом осуществлении какого-либо алгоритма ложения многочлена
приходится выполнять различные в рассматриваемом конечном поле, Например,
чтобы нормированным многочлен Д требуется вычислить мульти кативный
обратный элемент для старшего коэффициента многочлена. Для эффективного
выполнения в конечных арифметических действий были изобретены различные
Так, в работах Collins [1], Davida [1], Schdnhage [Пн
r>'\
'U\
Комментарии
227
[6] рассматривается вопрос о вычислении мультипликативных обратных
элементов. Эффективные методы умножения элементов поля разработаны в
