Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 103

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 371 >> Следующая

характера группы G, т. е. существует такой характер % группы G, что % (А)
- ф (А) для всех лея.
Доказательство, Можно считать Я собственной подгруппой группы G. Выберем
такой элемент а ? О, что аф Н, и пусть #i - подгруппа группы G,
порожденная множеством Н[]{а}- Пусть т - наименьшее натуральное число,
для которого ат ? Н. Тогда каждый элемент g ? #i может быть однозначно
представлен в виде g = atfi, где 0 ^ / < тиА ? Я. Определим на группе Н\
функцию фх условием ф! {g) - <о^*ф (Я), где ш - фиксированное комплексное
число, удовлетворяющее равенству сот - ф (ат). Покажем, что функция
является характером группы Hi. Пусть gi ~ akhu где 0 ^ к < m, hx ? Я, т.
е. gi - еще один элемент группы Н\. Если / + А < т, то фг (ggi) = со^+Лф
(AAJ =
" Ф1 (g) фгЫ- Если же / + k > т, то ggx = (арААО,
так что
фг (ggj) = ю/+*-"ф (amhhT} = ф (am) ф (АА^ =
= оа^+Аф (hhi) = фг <g) ф! (gi).
Очевидно, что ф! (А) - ф (А) для всех А ? Я. Поэтому если Я1 ~ = О, то
теорема доказана. В противном же случае мы продолжим эту процедуру, пока
через конечное число шагов не получим продолжение характера ф до группы
G. П
5.3. Следствие. Для любых двух различных элементов glt g-2 ? G существует
характер % группы G, такой, что % (gt) Ф
^ X Ш-
Доказательство. Достаточно показать, что для элемента А =¦ " Si&21 ф 1<?
существует характер % группы G, такой, что % (А) Ф ф 1. Но это вытекает
из примера 5.1 и теоремы 5.2, если через Я обозначить циклическую
подгруппу группы 6, порожденную
элементом А.
238
Гл. 5. Тригонометрические суммы
5.4. Теорема. Если % - нетривиальный характер кот абелевой группы О, то
2 X (М) = 0.
Если g ? G, причем g Ф lGi то
? х (g) = о.
i >
А
-VV^
Ш
>№¦
Щ
А
• U! •А?
"Г, ¦> :
м
Доказательство. Поскольку % - нетривиальный хара: группы Gt то существует
элемент h ? G, такой, что % (h) ф Поэтому
хФ) 2 х(м)= ? х(%) = ? х(е).
$€G
УМ
Ъй/
т
. -I-
a
и
% . 'Ш
так как если элемент g пробегает группу О, то и произведений пробегает
группу G. Такнм образом, мы получаем равенство ;
- 1) ? X <?) = 0,
s€e
(х (ft)
1 ^ Уж
У г.
•А
1',Л< ". '<¦>.
откуда следует (5.1).
Что касается второй части, то заметим, что функция oif деленная
равенством § (х) - х fe) ДДЯ всех X € G"\ явля характером конечной
абелевой группы СГ\ Этот характер нет виален, так как ввиду следствия 5.3
существует характер % ? такой, что х fe) ф X (У = 1- Поэтому из равенства
(5.1), при ненного к группе получаем
= ? i (х) =
хео~
ш
'-Hv гъЫ*-
ч.-
•h'.
Г
?
x(g)
0.
м,
: /'iii
'..¦AM
5.5. Теорема. Число характеров конечной абелевой группы равно | 6|.
Доказательство. Это следует из того, что
\.
¦.т
!<•
Ж
ф ;-vj 2
G
= ? ? x(g)= ? ? x(g)
G
гМ
%
где в первом равенстве использовано (5.2) и тот факт, что % (1(c)) = 1, а в
последнем - (5.1) и тот факт, что Хо fe) =
Утверждения теорем 5.4 и 5.5 можно объединить в следу соотношения
ортогональности для характеров. Пусть % н характеры группы G. Тогда
1 ? x(sr)'Hi) = И
"fe 11, если x = f'
'Щ гШ
ы'.
* %!- (If*; >?•
. ^ ом

к'у/
1
G
если %ф$,
¦т
т
Ш-
§ 1. Характеры 239
Первая часть получается применением (5.1) к характеру хФ" вторая часть
тривиальна.
Кроме того, если g и h - элементы группы G, то
4г 2 Х1?)хЩ= j "" • + (5.4)
( К если g ~ h.
Здесь первая часть получается применением (5.2) к элементу gh~l, а вторая
часть вытекает из теоремы 5.5.
Теорию характеров часто применяют, чтобы получить выражение для числа
решений какого-либо уравнения в конечной абелевой группе G. Так, пусть
f - произвольное отображение декартовой степени Gn - G X ... X G
(п сомножителей) группы G в G.
Тогда на основании (5.4) для фнксироваиного элемента h ? G
число N (h) n-наборов (^ ...,?¦") 6: G4, для которых f {gu • ¦м Sn) ~
определяется равенством
Л'(Л) = -ТЛГ 2 2 2 X(f(gi.....gn))%W)- (5.5)
Характер x группы G может быть нетривиальным на группе G, но аннулировать
при этом какую-либо подгруппу Я группы G (в том смысле, что % {К) = 1 для
всех h ? Я). Множество характеров группы G, аннулирующих данную подгруппу
Я, называется аннулятором подгруппы Я в группе характеров Grt группы G.
5.6. Теорема. Пусть Н - подгруппа конечной абелевой группы G. Тогда
аннулятор этой подгруппы в группе характеров СГ' является подгруппой
группы Grt порядка [ G j/| Я |.
Доказательство. Обозначим аннулятор подгруппы Я в группе характеров G~
через А. Из определения аинулятора сразу следует, что А - подгруппа
группы Grt. Пусть % ? А; тогда легко видеть, что равенство р (gH) = % (g)
для g ? G задает характер р факторгруппы G/Я. Обратно, если р - некоторый
характер группы G/Я, то легко видеть, что равенство % (g) = Р {gH) для g
? G определяет некоторый характер х группы G, аннулирующий подгруппу Я.
При этом различные элементы из А соответствуют различным характерам
факторгруппы G/Я. Поэтому между элементами подгруппы А и элементами
группы характеров (G/Я)"4 факторгруппы G/Я существует взаимно однозначное
соответствие, так что порядок подгруппы А группы O'" равен порядку группы
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed