Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
тогда и только тогда, когда т четно, a (q - l)/m нечетно. Во всех же
остальных случаях мы имеем ф (-1) - 1. П
Суммы Гаусса возникают в самых разных областях. Рассмотрим такой пример.
Пусть ф - мультипликативный характер поля тогда, применяя (5.10), можно
написать
,нс)=-ф 2 2 ул(с)ъЩ=
= 7 2 2 ¦(d)x"W
Ь ? Fg d ? (F
246
Гл. 5. Тригонометрические суммы
щ
Ж
V V-te • VTf? f'y\
для каждого с ? F$, Поэтому
<Кс)
1
Я
для всех c?F
*
(5.1:
Ж
т
&
/||
где сумма берется по всем аддитивным характерам % поля Это тождество
можно рассматривать как разложение Фурье му, типликативного характера ф
по аддитивным характерам поля коэффициентами Фурье которого являются
суммы Гаусса.
Аналогично еслн % - аддитивный характер поля Fq> применяя (5,13), можем
написать
1 2 x(d)=
т;.
№
* ' А'
aV?
г (с)
а-1
_____1_
<f?F
*
<?
2 для всех ° € ^
-
* .1 Vj
<У .
О#!
ф
Таким образом, получаем
ф
¦ ^
- .Л
•' А Ч,|&&
для всех с ? FJ,
(5.1
:<Л s
ш
• :• Wi
У •*
Л. •?
где сумма берется по всем мультипликативным характерам поля Fg. Это
тождество опять можно рассматривать как разлозй ние Фурье ограничения
аддитивного характера % поля jFg на по мультипликативным характерам этого
поля, причем циентами Фурье снова являются суммы Гаусса. Таким обраШ| для
конечных полей суммы Гаусса служат инструментом перехода от аддитивной
структуры к мультипликативной и ратно.
Прежде чем устанавливать дальнейшие свойства сумм Гауеса*ш мы изложим
одни полезный принцип Общего характера, ПуС1й5 Ф - множество всех
нормированных многочленов над полем и Я - некоторая комплекснозначная
функция, определенная наФ которая является мультипликативной в следующем
смысле:
^ (fiM = Я (g) Я (h) для всех g, h ? Ф, (5.18|
и, кроме того, удовлетворяет условиям
Я (1) - 1 н | Я (g) | < 1 для всех g ? Ф.
Обозначим через Ф& подмножество множества Ф, состоящее и многочленов
степени &, и рассмотрим степенной ряд
y-ic
У(r)
Wi
¦
Л*.,'
ж
<30
?(*)=? ( ? 1(e)
*=0 \ё?фк
к
(5.1
¦ш
Ш
ЛЙ
! * .//Л
§ 2. Суммы Гаусса
247
в комплексной области. Поскольку множество ФА содержит дк многочленов,
Коэффициенты при гк по абсолютной величине ие превосходят дк> так что
указанный степенной ряд сходится абсолютно при \z \ < q~l. В силу (5.18)
и учитывая единственность разложения на множители в кольце fq fx), мы
можем написать
Цг) - 2 X (g)*>•" <¦*> -
1?Ф
= П(1 +a,(/)2d'"tf> + X(/,)*de" <'*ч-) =
I
= П (1 + X (Л гл*" + (X (f)f гг d<* <" Н ),
f
где произведение берется по всем нормированным неприводимым многочленам /
из F3 [х]. Эго означает, что
L (г) = П (1 - к (/) г1*6*
/
логарифмическое дифференцирование тат умножим иа г. Получим
d log L (г) \ ^ к (/) deg (/) zdeg №
Z dz 1
f
Разлагая (1 - к (/) zA*s Ф)"1 Б геометрический ряд, получаем
гdlogLW = 2 %wdegфг"чif,.
• (1 + X (/) zd"* <n + X (/)* г2 d" <" + ...) =
deg (/)(>•(/) zdee <f) + X (ft* z2 d*f! +
+ Я, (Р) z3 d<* <" H ),
и, собирая одинаковые степени г, приходим к равенству
г 1М1Й = J L3z', (5.20)
dz s=i
где
*-.= 2 deg (ft I (/)•/">'"<"; (5.21)
здесь сумма берется по всем нормированным неприводимым многочленам /из
[х], степень deg (/) которых делнт s.
Теперь предположим, что существует такое натуральное число t,
что
? к (g) -= 0 для всех k > t. (5.22)
248
Гл. 5. Тригонометрические суммы
и до
...
Тогда, согласно (5.19), L (г) является комплексным многочлен степени, не
превосходящей t, с постоянным членом, равным нице, так что его можно
записать в виде i
L (z) --- (I - ш2г) (I - ш2г) ... (1 - (c)fz), (5.
где tt>t, ft>2 чает, что
to* - некоторые комплексные числа. Это от
П
/А:
d log L {z) dz
t
2
m- i
t
у
m= I
i
. 14
ft>mZ
oc
у
/==0
ьутг
s.:v>
.:V
*
../+1
Л-i
2 2
s-1 \m = l
(!)
>s
h, сравнивая с (5.20), получаем, что
Л*
s
- ft>i
s
jtr
• *
в
(x>t
для всех s e IN.
(5.
В качестве приложения этого принципа, выражаемого равез ством (5.24),
установим одно важное предложение. Пусть % аддитивный, a t|5 -
мультипликативный характеры поля и пусть Е - некоторое конечное
расширение поля Гд. Тог' характеры % и можно "поднять" до поля Е, полагая
%*¦ (р)
= X (Tf?/F, (Р)) Для любого р ? Е и \|/ (Р) = \|) (NE,ft (Р))
любого р ? Е*. Из аддитивности следа н мультнплнкатнвн нормы вытекает,
что х' - аддитивный, а ф' - мультипликатй: ный характеры поля Е (будем
называть их поднятиями до характеров х н ^ соответственно). Следующая
теорема устанавл вает важное соотношение между суммой Гаусса G (тр, х) в
поле и суммой Гаусса G ($', х') в поле &¦
5.14. Теорема (теорема Дэвенпорта-Хассе). Пусть % - диттный, а \|) -
мультипликативный характеры поля F$* являющиеся одновременно
тривиальными, и пусть Е - конеч расширение поля Fg, причем [Е : Fg3 = s.
Если %1 и ф' - т нятия до поля Е характеров % и поля Fg соответственно,
имеет место равенство
о (чЛ г') = о x)s.
Доказательство. Для удобства распространим определен мультипликативного
характера ^ на все поле F9, полагая (0) = 0. Воспользуемся обозначениями
