Эффект Ганна - Левинштейн М.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Эффекты переноса в GaAs в сильных электрических полях наиболее полно
исследованы с помощью метода Монте-Карло [3-5]. Этот весьма мощный
численный метод позволяет произвести расчет всех основных характеристик
явлений переноса с учетом как особенностей зонной структуры
полупроводника, так и многочисленных процессов рассеяния электронов.
Использованная в работах [3-5] методика расчета является обобщением
методики, предложенной Куросавой [6] для расчета функции распределения
электронов.
Основная идея метода Монте-Карло состоит в моделировании движения
электрона в импульсном пространстве под действием электриче-22
¦ского поля и актов рассеяния. Если следить за движением электрона
достаточно долго, то за время наблюдения он успеет много раз побывать в
каждой точке ^-пространства. Подсчитав, какое время проводит электрон в
среднем в окрестностях каждой точки пространства импульсов, найдем
вероятность того, что электрон будет иметь импульс k, а следовательно,
определим функцию распределения f(k) и такие характеристики явлений
переноса, как средняя дрейфовая скорость носителей, коэффициент диффузии
и др.
В промежутках между актами рассеяния электрон под действием
электрического поля дрейфует в импульсном пространстве с постоянной
скоростью
*(0=*. + -^-*, (2.1)
где - начальное значение k; % - постоянная Планка.
На этот дрейф будут накладываться процессы рассеяния электрона на
фононах (оптических и акустических), примесях, междолинное
рассеяние и т. д. Процессы рассеяния электронов являются
случайными
процессами. Идея, предложенная Куросавой [6], состоит в том, чтобы
определять случайный момент времени U, в который произойдет рассеяние
электрона, используя случайные числа г, распределенные с одинаковой
плотностью вероятности от 0 до 1. (Программа датчика случайных чисел
является стандартной программой любой ЭВМ.) Связь между случайным числом
г и моментом времени рассеяния to определяется соотношением
r=J\Pt{t')dt, (2.2)
о
где Pt(t') ¦-вероятность рассеяния электрона к моменту времени t,
отнесенная к единице времени.
Величина Pt определяется вероятностями всех процессов рассеяния. Каждый
процесс рассеяния можно охарактеризовать скоростью перехода Sq(k, k') из
состояний k в состояние к', связанной с этим процессом. Здесь q - индекс,
значения которого 1, 2, 3 ... относятся к различным процессам рассеяния.
При расчете методом Монте-Карло величины Sq(k, k') предполагаются
известными. Если мы следим за электроном в состоянии к, то полная
скорость рассеяния из этого состояния за счет процесса,
обозначаемого индексом q, очевидно, равна
%q(k)= j Sq(k, k')dk'. (2.3)
.Интегрирование проводится по всей зоне Бриллюэна.
Полная скорость рассеяния из состояния k равна
т
Я (ft) =2 Xq(k), (2.4)
<7=1
где т - число процессов рассеяния, учитываемых при расчете.
Теперь можно рассчитать вероятность Р того, что электрон будет дрейфовать
в импульсном пространстве в течение времени t0, после чего произойдет
процесс рассеяния. Разобьем промежуток времени to на ряд малых
промежутков времени Ati, Afe, ..., Ati. Тогда вероятность рассея-
23
ния за промежуток времени AU есть X(k)Ati, а вероятность того, что за
время Л4 рассеяния не произойдет, есть 1-<k{k)AU. Отсюда
p = h[ 1 - Я (А) Д/i], (2.5)
i=i
откуда
i
In Р = In [ 1 - Я (?) А*'']• (2.6)
2 = 1
Используя условие Я(&)А/г<С1, можно разложить логарифмы в ряд и
ограничиться первым членом разложения
i
1пР = - Я (А)2 Afc = - Я (Л)/0. (2.7)
i=l
Тогда
Р = е~Х(А)Ч (2.8)
Таким образом, вероятность рассеяния электрона в момент времени /0,
отнесенная к единице времени, равна
Р< = Я (&) e-5'(ft>4 (2.9)
Сопоставляя выражения (2.2) и (2.9), видим, что для определения момента
времени 4 по случайному числу г требуется решить сложное интегральное
уравнение. Существует, однако, прием, который позволяет значительно
упростить процесс нахождения U по заданному г. Этот прием заключается в
добавлении к m существующим реально физическим процессам рассеяния еще
одного фиктивного процесса рассеяния, характеризуемого скоростью
рассеяния
S0(k, k')=%0{k)8{k-k'), (2.10)
где б (/г-k') -дельта-функция Дирака.
Очевидно, что, поскольку в таком процессе рассеяния состояние электрона
не меняется, скорость рассеяния %o(k) не должна влиять на функцию
распределения электронов и на любые физические характеристики
электронного газа, такие, как средняя дрейфовая скорость электронов,
коэффициент диффузии и т. д. Поэтому величину %o(k) можно выбрать любой.
Примем
Ло(А)=Г-Цк), (2.11)
где Г - константа, выбираемая достаточно большой, для того чтобы величина
X$(k) была положительной. Теперь полная интегральная скорость рассеяния с
учетом фиктивного процесса рассеяния равна, очевидно, Xo(k) +Я(&) =Г и
вероятность рассеяния в единицу времени Pt будет равна
Pt=Te~Tt°. (2.12)
Подставляя (2.12) в (2.2), получаем
г - J Г e~rt'dtr - 1 - е-г*°
24
или
f"=- ln(l- r) IT.
(2.13)
Таким образом, генерируя различные случаи числа г и пользуясь формулой
