Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
160
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
или, по меньшей мере, приблизительно равномерное, как это требуется для того, чтобы перемещение было перпендикулярным к силе; наоборот, мы имеем здесь дело с замедленным движением.
54. Гироскоп с осью, вынужденной двигаться по неподвижной плоскости. В качестве третьего и наиболее замечательного приложения натуральных уравнений мы рассмотрим здесь механические причины явления, на котором основано действие так называемой гироскопической буссоли. Для этой цели обратимся предварительно к более простой задаче.
Представим себе гироскоп, ось которого Oz (гироскопическая ось, проходящая через центр тяжести) в силу связей не может выходить из заданной неподвижной плоскости it, проходящей через О. Если мы вспомним прибор, описанный в п. 3, то легко поймем, как (по крайней мере относительно Земли) можно осуществить такую связь. Достаточно закрепить диаметр BB' кольца (в котором укреплены подшипники оси AA' гироскопа) вдоль нормали к плоскости it таким образом, чтобы его средняя точка совпала с той точкой плоскости т., в которой мы хотим закрепить гироскоп. В этих условиях траектория вершины сведется к окружности с центром в О и радиусом 1 в плоскости TT1 так что ее геодезическая кривизна у будет равна нулю, единичный вектор t будет постоянно лежать в этой плоскости (в направлении, перпендикулярном к ft), а единичный вектор м останется неподвижным (в направлении, перпендикулярном к тг). Если, далее, допустим, что связь является связью без трения, то реакции (внешние),, которые приложены к оси гироскопа, должны быть все нормальными к it, а потому их результирующий момент относительно точки О будет необходимо перпендикулярным, как к k, так и к V. Мы видим, таким образом, что эти реакции ничего не добавляют к двум последним натуральным уравнениям (п. 51)
= Cr = Mz. (103)
Эти уравнения, так как моменты M.,, Mz относятся исключительно к активным силам (внешним) и являются поэтому так же, как и эти силы, известными, будут достаточны для определения движения системы (имеющей, очевидно, только две степени свободы).
Интегрируя уравнения (103), мы определим движение. He рассмотренное еще нами натуральное уравнение, которое здесь при ^ = O принимает вид
Crs = Mt,
позволяет найти по данным задачи и после того, как движение будет определено, проекцию на направление t результирующего момента реакций, который входит как слагаемое в правую часть. Из механической постановки задачи более уже ничего нельзя получить относительно неизвестных реакций, кроме этой суммарной величины^
І 8. СтерёойодаЛьные и натуральные уравнения
161
55. Случай плоскости, неподвижной относительно Земли. Рассуждения -предыдущего пункта, строго говоря, имеют силу только при том существенном предположении, что плоскость it неподвижна относительно инерциальной системы отсчета. Ho в тех пределах приближения, в которых допустимо пренебрегать движением Земли, они будут приложимы так же и к случаю, когда тс будет плоскостью, неизменно связанной с Землей. Приняв это допущение, предположим еще, что активные силы сводятся к весу гироскопа (единственная сила величины mg, приложенная в центре тяжести G).
Приняв за ось ОІ ортогональную проекцию нисходящей вертикали точки О на плоскость п (линия наибольшего наклона) или произвольную прямую в плоскости it, если эта плоскость горизонтальна, обозначим через а угол наклона плоскости it к горизонту (или через it/2 — а угол между осью О? и нисходящей вертикалью) и через 6 угол между вектором k и осью Oi (отсчитываемый в направлении от k к t). Тогда для проекции силы тяжести на направление t будем иметь выражение
mg sin a cos -f- = — mg s'n а
так что, положив 00 — 1, получим
M4 =—mgl sin a sin Q, Af2. = 0.
На основании этих значений моментов активных сил относительно осей второе из уравнений движения (103) дает r = const = r0, а первое, так как здесь, очевидно, имеем 5 = О, сводится к уравнению
M -J- mgl sin с< sin О — 0. (104)
Так как, обозначая временно через /, положительную постоянную
А
ти/sin а ’
предыдущее уравнение можно написать в виде
Ii 0 -}- g sin 6 = 0,
то мы видим, что, вообще говоря, ось гироскопа при указанных выше условиях будет сколь угодно долго колебаться около линии наибольшего наклона 0$ по закону маятника; если, в частности, имеем / = O (т. е. если гироскоп подвешен в центре тяжести) или же « = 0 (т. е. плоскость тс горизонтальна), то правая часть уравнения (104) обращается в нуль и ось гироскопа равномерно вращается в плоскости вокруг О. При этом гироскоп во всех случаях сохраняет сколь угодно долго постоянную угловую скорость г0 вращения вокруг своей оси.
56. Гироскопическая буссоль. Предположим, как и в предыдущем пункте, что плоскость тс неизменно связана с Землей, и добавим еще дальнейшее условие, что центр подвеса О совпадает с центром тяжести
Ц Зак* 2368. Т. Левн-Чивита в У. Амальдн
162
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
гироскопа. Ho в отличие от того, что говорилось в предыдущем пункте, мы примем здесь во внимание влияние движения Земли, которое будем рассматривать, как в § 4 гл. И, т. е. предположим, что центр тяжести движется равномерно и прямолинейно, а угловая скорость сохраняет постоянные величину и направление.
