Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
При указанном выше условии, что сила F пересекает гироскопическую ось, имеем Mz = 0, а из предположения, что движение вершины равномерное (s = 0), следует в силу второго натурального уравнения (99), что и = 0; поэтому момент M имеет направление единичного вектора t, т. е. скорости и, следовательно, элементарного перемещения вершины; а так как при OA = I имеем M = IkyCF, т0 мы и приходим к заключению, что это перемещение точки V, параллельное М, перпендикулярно к F, а также и к k. Можно также определить и сторону этого элементарного перемещения. Прежде всего, так как M2 = O, то из уравнения (100) видим, что г = Const (как это, в частности, имеет место для тяжелого гироскопа). Далее, если гироскопическая скорость достаточно велика (по сравнению со скоростью s вершины, или, точнее, по сравнению с *f5), то из ДВУХ членов левой части первого натурального уравнения (99) преобладающее значение будет иметь второй, имеющий тот же знак, что и s. Если касательную к траектории вершины направим в ту сторону, куда перемещается точка V в данный момент, то, по крайней мере за рассматриваемый элемент времени, s>0 и поэтому проекция Mt момента M будет положительной. Этот момент имеет, следовательно, одинаковые с t и со скоростью точки V не только направление, но также и сторону. А тогда на основании выражения M = IkXF заключаем, что когда точка А приложения силы F находится на гироскопической оси с той же стороны от точки О, что и G(/> 0), то скорость
Г. JI а м б, Теоретическая механика, т. III, перевод с английского, 1936, §55; W. F. Osgood, On the gyroscope, Trans, of the Amer. Math. Soc., т. XXIII, стр. 240—264.
158
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
точки V в любой момент будет направлена перпендикулярно к плоскости векторов F и ft влево по отношению к наблюдателю, расположенному вдоль k и обращенному лицом в ту сторону, куда действует F (фиг. 23).
53. Чтобы дать второе приложение натуральных уравнений, тоже очень простое, представим себе, что активная сила F представляет собой реакцию, испытываемую щеточкой, укрепленной на гироскопической оси в одной из ее точек А со стороны О и вынужденной
скользить по внутренней стороне шерохо-'1 ватой сферы с центром в точке О.
* Если через N обозначим величину нор-
мальной реакции, которую мы будем предполагать постоянной, и через /—коэффициент трения, то fN будет абсолютной величиной касательной составляющей реакции (трение), поэтому в силу законов динамического трения Фиг. 23. (поскольку в рассматриваемом интервале
предполагается f > 0), проектируя силу F на ориентированные направления трех единичных векторов t, v, k, связанных с траекторией вершины, будем иметь
F1 = -W, F4 = О, Fz = — N;
если положим еще OA = I > 0, то момент M будет определяться равенством -
M = IkXi —fNt— Nk) = ifm.
Поэтому в натуральных уравнениях мы должны положить Mt = Mz = 0, M4 = -IfN,
в силу чего из уравнения (100) также и в этом случае находим г = const = г0> а второе из уравнений (99) дает
As=-IfN. j(101)
Так как правая часть есть отрицательная постоянная величина, то движение будет равнозамедленным и скорость обратится в нуль по истечении конечного промежутка времени от t = 0 до t = tv Начиная с этого момента tu вершина V остается неподвижной в достигнутом таким образом положении V1, и движение гироскопа сведется к перманентному вращению (с угловой скоростью г0) вокруг гироскопической оси, неподвижной в пространстве в положении OV1.
Поэтому остается определить движение V за промежуток времени от /=0 до t = tv для чего достаточно применить элементарные формулы прямолинейного движения тяжелой точки (т. I, гл. И, пп. 29, 30). Если желательно избежать всяких ссылок, то достаточно заметить, что
§ 8. СТЕРЕОНОДАЛЬНЫЕ И НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
159
за рассматриваемый промежуток времени, вследствие того что 5 > О, дуга 5 постоянно возрастает вместе с t, так что мы можем принять
ее за независимое переменное вместо t. Принимая во внимание обыч-
ное тождество
••___ ds •___________ I dv2
S ds S 2 ds
и обозначая для кратности через h положительную постоянную 2 IfNJAy можно будет написать уравнение (101) в виде
dv2 ,
ir = -h>
из этого уравнения получаем
= hs, (102)
где V0 обозначает начальную скорость. Поэтому вершина, прежде чем остановиться, пробегает дугу длиной
S-*.
S1~ h
Время tlt необходимое для этого, получится непосредственно ИЗ' уравнения
ds
которое, пользуясь соотношением (102) и разделяя переменные, можно» написать в виде
V ’
откуда, интегрируя от 0 до S1, получим
* _ 2*о Г1— h •
Наконец, для определения траектории, пробегаемой вершиной V, надо проинтегрировать первое из уравнений (99), которое здесь принимает вид
CfQ
и, так как f есть геодезическая кривизна неизвестной траектории, представляет собой натуральное уравнение.
Уместно отметить, что мы, таким образом, имеем пример движения вершины гироскопа, происходящего, собственно, в направлении прямо приложенной силы (хотя и в противоположную сторону). Это, естественно, не может нас удивить, если мы обратим внимание на то, что условия здесь далеки от того, чтобы движение вершины было строго
