Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Ho из интегрирования уравнений (103'), выполнимого в квадратурах, легко также видеть, каково должно быть теоретически (т. е. при полном отсутствии трения) движение оси в общем случае, т. е. при каких угодно начальных условиях (конёчно, совместимых со связями).
Для этой цели, как и в п. 55, выберем в плоскости те ориентированную прямую Ofc, которую мы здесь совместим с проекцией оси мира; если же R будет нормальна к плоскости те, то мы возьмем OS произвольно. Обозначив через 0 угол k с осью OS (отсчитываемый в направлении от k к t), мы и здесь также можем отождествить у с 9 и будем иметь
Rt = R1 cos (б -+- ^) = — R1 sin 0,
где R1 обозначает положительную постоянную, т. е. проекцию угловой скорости Земли на плоскость те; уравнения (103') принимают после этого окончательный вид
Ab = — CRxT sin 0, /- = sin 6. (103")
Отсюда прежде всего следует, что если плоскость те перпендикулярна к R, т. е. параллельна земному экватору, то имеем г = const, 0 = 0, т. е. гироскоп равномерно вращается вокруг своей оси, а эта ось в свою очередь равномерно вращается в плоскости те вокруг О.
Во всяком другом случае второе из уравнений (103") все еще можно проинтегрировать, и если г0 и 0О суть начальные значения г и 6, то получим
г=/q +(cos 6— CosO0). (107)
§ 9. СЛУЧАЙ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
165
Подставляя это выражение г в первое из уравнений (103"), для определения 6 в функции от t мы получим уравнение
АЬ *= _ Cr0R1 ^l —^ cos 60] sin9 + i^ sin 2б), (108)
которое можно привести (гл. VII, п. 5) при помощи одной квадратуры к обычному типу
02 = Ф(6),
интегрируемому посредством одной квадратуры (гиперэллиптической).
Мы не будем здесь останавливаться на фактическом вычислении. Вместо этого заметим, что если начальная гироскопическая скорость г0 значительна, точнее, достаточно велика для того, чтобы отношение Ri0Ir0 было ничтожным по сравнению с единицей, то уравнения (107), (108) можно будет заменить уравнениями
г = г0, АЬ = — Cr0Rl sin 9,
второе из которых совпадает с уравнением движения маятника. Таким образом, мы видим, что, в любом движении с достаточно быстрым гироскопическим вращением, если на гироскоп наложены указанные связи, то он вращается приблизительно с постоянной угловой скоростью вокруг оси симметрии, а ось колеблется приблизительно по закону маятника, в плоскости тс (предполагаемой непараллельной земному экватору) около проекции оси мира.
Важно добавить, что на практике, вследствие неизбежного действия трения, колебательное движение оси при каких угодно начальных условиях затухает значительно быстрее, чем собственное вращение гироскопа, которое предполагается весьма быстрым, так что ось его после небольшого числа колебаний располагается в положении равновесия. Этим обстоятельством и замечаниями, сделанными выше об этом положении равновесия в случае, когда плоскость те горизонтальна или вертикальна, вполне оправдывается название гироскопической буссоли, которое обычно дают рассмотренному здесь прибору.
§ 9. Случай С. В. Ковалевской и другие исследования преимущественно аналитического характера
58. Случай Ковалевской. В п. 24 уже говорилось, что интегрирование уравнений (34'), (35') движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной своей точке, приводится к квадратурам всякий раз, когда удается определить еще один интеграл, кроме классических интегралов живых сил и момента количеств движения.
С. В, Ковалевская, поставив себе целью определить все случаи, в которых решения р, q, г, Y1, Тг» Тз системы (34'), (35'),
166
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ точки
рассматриваемые не только на действительной оси, но и на всей плоскости комплексного переменного t, представляют собой однозначные и мероморфные функции, пришла к заключению, что это обстоятельство имеет место, кроме случаев Эйлера (§ 3) и Лагранжа (§ 6), только в том случае, когда выполняются два следующих условия:
а) главные моменты инерции относительно неподвижной точки Q удовлетворяют соотношениям
А = В = 2С,
вследствие чего, в частности, твердое тело имеет гироскопическую структуру относительно точки О;
б) центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции относительно точки О, а не на оси симметрии, как это имеет место в случае Лагранжа *).
Допустив оба этих структурных предположения, мы ограничимся здесь составлением уравнений движения и получением из них первого интеграла, который и даст возможность выполнить интегрирование в квадратурах.
Выбрав за неподвижную ось z в теле ось симметрии эллипсоида инерции, мы можем предположить, не нарушая общности рассуждений, что положительная полуось х проходит через центр тяжести, так как и здесь безразлична ориентация неподвижных относительно тела осей Oxy (главных осей инерции) в экваториальной плоскости. В силу этого имеем
X0 >0, у0 = г0 = 0, благодаря чему уравнения (34') приводятся к следующим:
2р — qr = 0,
2q~\-pr = — X3Y3, (109)
г = ^2T2,
*) Ковалевская Софья Васильевна родилась в Москве в 1850 г., умерла в Стокгольме в 1891 г. Математические способности С. В. Ковалевской обнаружились уже во время занятий ее алгеброй и геометрией под руководством домашнего учителя Малевича; впоследствии она брала уроки математики в Петербурге, слушала лекции в Гейдельберге и, наконец, работала под руководством Вейерштрасса в Берлине.
