Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В случае тяжелого гироскопа, если мы выберем в качестве оси ? вертикаль, направленную вниз, и через х обозначим ее единичный вектор, то момент
M = POOXx (89)
единственной активной силы, т. е. веса, на основании уравнений (84) будет иметь проекциями
Mx' = — Pz0 sin 0, My, = Ms = О,
где г0 есть третья стереонодальная координата (постоянная) центра тяжести, так что первое из уравнений (88) на основании соотношений (87) примет вид
Ab (Cr — Лф cos Ь) (і/ sin 0 -{- Pz0 sin 0 = 0. (90)
48. Мгновенное возмущение регулярной прецессии тяжелого гироскопа. Действие добавочной пары, момент которой направлен по линии узлов. Чтобы дать непосредственное приложение стереонодальных уравнений, вернемся к рассуждениям п. 40. Рассмотрим тяжелый гироскоп, например волчок, совершающий регулярную прецессию, и представим себе, что в данный момент t0 это движение возмущается добавлением пары, действующей в плоскости, перпендикулярной к линии узлов, с моментом N (положительным или отрицательным). Это вызовет движение волчка общего типа, т. е. движение с нутацией (п. 31); мы рассмотрим здесь движение за малый промежуток времени, непосредственно следующий за моментом /0.
Из стереонодальных уравнений тяжелого гироскопа изменится только первое, т. е. уравнение (90); оно примет вид
Aft-\-(Cr— Лcos 0) sin 0 -f- P^0Sin 0 —N = 0. (90')
TaK как в момент t0, когда внезапно начинает действовать добавочная пара, различные характеристические элементы движения имеют значения, соответствующие регулярной прецессии, в которой 0 = const, то для них в силу уравнения (90) имеет место условие
(Cr—лф cos 0) ф sin 0 -I- Pz0 sin 6 = О,
§ 8. СТЕРЕОНОДАЛЬНЫЕ И НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
153
которое, если ПОЛОЖИТЬ В нем <j» = v, Г = [I -j- V COS 0 и сократить на sin 0, будет тождественно с уравнением (74'), характерным для прецессий (п. 37); поэтому на основании уравнения (90') начальное значение 6, начиная с момента t0, определяется равенством
Таким образом, мы видим, что угловое ускорение 6 сначала принимает знак момента А/; это находится в согласии с обычным представлением, что гироскопическая ось как бы подчиняется добавочному импульсу, поскольку она стремится подняться вверх, если N положительно, и опуститься вниз, если N отрицательно.
Для пояснения этого заключения предположим, что добавочная пара осуществляется посредством увеличения или уменьшения веса. Вслед за увеличением веса, что соответствует отрицательному значению N, в последующем движении с нутацией произойдет опускание оси, тогда как уменьшение веса, соответствующее положительному значению N, вызовет сначала поднятие оси.
49. Геометрические сведения о сферических кривых. Чтобы прийти ко второй форме уравнений движения тела с гироскопической структурой, упоминавшейся в п. 46, необходимо обратиться к рассмотрению траектории, описываемой вершиной (см. п. 31). Речь идет о кривой, описываемой на сфере, имеющей центр в закрепленной точке и радиус, равный 1. Для того чтобы облегчить вывод уравнений, которые мы имеем в виду, установим предварительно некоторые геометрические формулы, относящиеся к сферическим кривым. Чтобы остаться в тех же условиях, в которых нам придется их применять, мы предположим, что радиус сферы равен 1. Заметим, что последнее предположение не нарушает общности того, о чем мы будем говорить.
Рассматривая поэтому любую кривую С, проведенную на сфере с центром в О и радиусом, равным 1, обозначим через 5 криволинейную абсциссу текущей точки V кривой С и положим
k = ov, v = ftX(91)
в силу этого k представляет собой единичный вектор, нормальный в точке V к сфере и направленный наружу, t есть единичный вектор, касательный к кривой С в -Точке V и направленный в сторону возрастающих дуг S, и V тот единичный вектор, нормальный к С в точке V, который лежит в касательной плоскости к сфере и направлен влево относительно наблюдателя, стоящего на внешней стороне сферы и смотрящего на кривую С в направлении возрастающих s..
154
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Указанная здесь тройка единичных векторов является ортогональной и правой, так что, в частности, имеем
V X * == t. (92)
Вектор dt/ds, который, как мы знаем (т. I, гл. I, п. 74), дает направление главной нормали, перпендикулярен к t, так что можно написать
S = TV +TA (93)
где составляющие v> Ti^ имеют известное геометрическое значение, которое мы уточним в ближайшем пункте; но для имеющихся в виду приложений нам достаточно будет обратить внимание лишь на то, что у есть функция от s, характеризующая в некотором роде ход сферической кривой.
Для этой цели заметим, что, дифференцируя третье из уравнений (91) и принимая во внимание второе из них, а также уравнения (93) и (92), найдем
% = -*¦ <94>
50. Чтобы уточнить геометрическое значение только что упомянутых скалярных величин у и Yu заметим, что в силу первой формулы Френе (т. I, гл. I, п. 80) уравнение (93) можно написать в виде
СП = YV + Tl*, (930
где п обозначает единичный вектор главной нормали (направленной к центру кривизны) и с (первую) кривизну кривой С.
