Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (103) можно применить и в этом случае, лишь бы в выражения и Mz было включено слагаемое, происходящее от центробежных сил (т. е. сил, соответствующих переносным ускорениям) и сложных центробежных сил (т. е. сил, происходящих от дополнительных поворотных ускорений).
Ho слагаемое, происходящее от центробежных сил, уже учтено в силе тяжести, которая в силу своего определения является результирующей земного притяжения и центробежной силы (т. I, гл. XVI, п. 33); с другой стороны, ее момент равен нулю, потому что речь идет о моменте силы, приложенной в точке О. Что же касается сложных центробежных сил, то они определяются для каждой отдельной материальной точки Pt массы Ttii гироскопа выражениями
— 2miacji = — 2TtiiR X 1>и
где R обозначает угловую скорость Земли и Vi — скорость о) X OPi точки. Вспоминая тогда выражение
to = sv rk, (98)
найденное в п. 51 для угловой скорости гироскопа, и обозначая через XitJfi, Zi координаты точки Pi относительно системы Ох'у'г, мы легко найдем
— 2 IniOcH = Xft -|- KiV -J- ^ik, где для краткости положено
Xi — 2Uii (SR1-J- г Rz) Xi, J
Yi = 2 Ttii (— SRtXi 4 [гу і — szt] Rz), j- (105)
Zi = 2Itii (— гRtXi — Iryi — «J Ri). J
Проекции M4, Mz результирующего момента внешних сил, которые, как было сказано, относятся исключительно к только что определенным сложным центробежным силам, можно вычислить на осно-
вании формул
М., = 2 (zixi — xizi)> Mz = 2 (хіуі —УіХі),
І і
где суммирование (заменяемое, если необходимо, интегрированием) распространяется на все точки или материальные элементы гироскопа. Если примем во внимание, что, с одной стороны, в силу гироскопической структуры тела, ориентировку единичных векторов t, V, Ar
S 8. СТЕРЕОНОДАЛЬНЫЕ И НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
163
в любой момент определяют три главные оси инерции, так что исчезают три произведения инерции, а с другой стороны, имеем (гл. IV, п. 17)
^ MiX2i = ^ ГПіУІ = ~ С, 2 miz‘i = А — J С,
г і і
то на основании уравнений (105) найдем
M4 = CrRt, Ms = - CsRt, и натуральные уравнения (103) принимают вид
As = CrRt, Cr = — GsRt. (103')
Складывая почленно эти два уравнения после умножения их соответственно на s и г, мы увидим, что они допускают первый интеграл
~ (As2 + Cr*) = const. (1 Об)
Мы имеем здесь, очевидно, интеграл живых сил, наличие которого всегда моіжно было предвидеть. Действительно, обращаясь к неподвижным осям, мы видим, что в настоящей задаче связи (закрепление центра тяжести и возможность движения гироскопической оси только в плоскости и) по предположению являются идеальными и не зависят от времени; поэтому все будет происходить так, как если бы активные силы сводились для каждой точки Pi к сложным центробежным силам. Всякая такая сила будет перпендикулярна к скорости
V точки приложения; поэтому во всякий элемент времени dt ее элементарная работа будет равна нулю. Следовательно, нулю же будет равна и элементарная работа dL активных сил; уравнение живых сил будет поэтому иметь вид dT = 0, что непосредственно следует из уравнения (106).
57. Что касается интегрирования уравнений (103')» то заметим прежде всего, что одно простое, но очень важное из его частных решений можно получить, предполагая, что гироскопическая ось, т. е. единичный вектор k, постоянно направлена по проекции (ориентированной) на плоскость к вектора R, который, как обычно говорят, направлен по оси мара (ось вращения Земли, направленная от южного полюса к северному). В таком случае, так как вершина остается неподвижной в плоскости тг, мы постоянно будем иметь S = O) с другой стороны, Rt также будет тождественно равна нулю, потому что единичный вектор t, принадлежащий плоскости тс и перпендикуляр* ный к k, будет перпендикулярен и к R. Мы видим, таким образом, что первое из уравнений (103') будет тождественно удовлетворяться, а второе просто даст г = const = л0; поэтому мы будем иметь
И*
164
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
перманентное вращение с угловой скоростью г0 вокруг гироскопической оси, расположенной вдоль ортогональной проекции оси мира на плоскость те.
Обратно, если для гироскопа, находящегося в быстром вращении вокруг своей оси (гф 0), требуется определить, как эта ось должна быть ориентирована в заданной плоскости те, неизменно связанной с Землей, для того чтобы, оставаясь свободной для вращения в плоскости те вокруг удерживаемого неподвижным центра тяжести гироскопа, она оставалась неподвижной, то из уравнений (106), (103') следует, что проекция Rt должна обращаться в нуль, т. е. что вектор k должен располагаться вдоль проекции оси мира на плоскость те.
Так, в частности, если плоскость те горизонтальна или вертикальна, то положение, неподвижности, или, как обычно говорят, положение (относительного) равновесия гироскопической оси, приблизительно совпадает (если отвлечься от небольшого различия между положениями оси вращения Земли и магнитной оси) с осью магнитной стрелки буссоли отклонения, или, соответственно, буссоли наклонения,
