Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
электронов в виде произведения одноэлектронных функций:
^п = Пфг (гг), ^ -Vй
г
при этом уравнение (3.5) распадается на N независимых одинаковых
уравнений для каждого из электронов:
-|^2фг + ?/(гг)Ф* = §гфг, (3.8)
где U = U (ru Rc() + ^'(гг) и %i - собственное значение энергии г-го
электрона (%п =
Далее мы предположим, что ядра совершают малые колебания
около равновесных положений, и заменим U (г;, Ra) на U0 (гг, Rao);
при этих условиях U будет попросту периодическим потенциалом
решетки так как электронная плотность должна соответствовать
симметрии распределения ядер.
Таким образом, мы свели задачу к движению электронов в
периодическом поле U (г) **). К сожалению, нахождение
конкретного вида этого периодического потенциала представляет
весьма большие трудности. Не говоря о суммировании поля всех
атомных остатков в данной точке, остановимся коротко на
вычислении U" (г). В выражение (3.7) входит волновая функция ф
(г'), которую мы можем узнать только в результате решения
уравнения (3.8). Таким образом, задача должна решаться методом
последовательных приближений: выбирается некоторый потенциал
W и находится соответствующая функция фу-, которая подставляет-
ся в (3.7), и таким образом, находится лучшее выражение для
потенциала, затем снова находится ф^, и так до тех пор, пока
решение не оказывается "самосогласованным", т. е. полученный
потенциал не совпадает, по крайней мере приближенно, с
заложенным в уравнение (3.8). Так как указанная процедура
связана с чрезвычайно большими
*) В дальнейшем колебания ядер учитываются как малое возмущение,
вызывающее рассеяние электронов.
**) В дальнейшем индекс i за ненадобностью будем опускать.
13* 195
вычислительными трудностями, то зонная структура рас-
считывалась описанным выше методом в очень небольшом числе
случаев; обычно пользуются одним из четырех приближенных
методов (см. ниже).
Приведенные выше рассуждения для обоснования выражения
(3.7) самосогласованного потенциала не вполне строги. В
действительности электроны представляют собой не облака
зарядов, размазанные по всему пространству, а являются
точечными зарядами и их правильные волновые функции должны
быть таковы, что вероятность найти два электрона близко друг от
друга должна быть много меньше, чем в предположении о
независимом их движении. Это вытекает из их кулоновского
отталкивания и из принципа Паули цлииз антисимметричности
полной волновой, функ,- ции системы электронов [9]. Таким
образом, если, вводя адиабатическое приближение, мы
абстрагируемся от корреляции движения электронов и ядер, то
вводя одноэлектронное приближение, мы отвлекаемся от
корреляции в движении электронов и опять-таки от нашего
внимания при этом ускользает целый ряд явлений, связанных с
коррелированным движением электронов:
- дырочная проводимость, представляющая собой кол-
лективное эстафетное движение электронов в почти заполненной
зоне *\
- экситонные движения, которые можно рассматривать либо
как эстафетное перемещение электронного возбуждения, либо как
коллективное перемещение электрона и дырки.
Перейдем к конкретному рассмотрению отдельных методов
анализа зонной структуры.
На рис. 3.1, а представлен примерно ход периодического
потенциала вдоль одного из кристаллографических направлений
ковалентного кристалла, на рис. 3.1, б дана аналогичная картина
для кристалла с ионной связью. Как видно из этих рисунков, в
обоих случаях ход потенциала слишком сложен для того, чтобы его
можно было выразить простой аналитической функцией. Даже если
предположить тем не менее, что потенциал точно известен (что в
действительности никогда не имеет места) и что вид его можно
выразить
*) Строгое обоснование введения дырок можно провести лишь при
корректном решении многоэлектронной задачи. В одноэлектронном
приближении дырки вводятся "на глаз" без серьезного обоснования.
196
простой аналитической функцией и подставить в уравнение
Шредингера (3.8) для одноэлектронного приближения, то точное
решение последнего оказывается все же слишком сложной задачей.
Поэтому был разработан ряд приближенных методов решения. При
этом оказалось, что некоторые основные закономерности,
связанные с периодичностью потенциала, всегда сохраняются
независимо от конкретного вида потенциала и метода
приближенного решения задачи.
а)
Рис. 3.1. Схема периодического
потенциала:
а - в ковалентном кристалле, 6 - в
ионном кристалле.
Волновая функция электрона в периодическом поле
представляет собой плоскую волну с модулированной амплитудой,
причем период модуляций пропорционален переду'решетки *). В
зависимости от условий на границах кристалла это может быть
бегущая плоская волна
ф = и (г) e2lti(kr-vi>
или стоячая волна
ф == и (г) e2nivt sin 2якг.
(3.9)
(3.10)
Однако в обоих случаях и (г) - периодическая функция с периодом
решетки **>
где
u(r + g(n)) = u(r),
g (n) = + "2 a2 +
