Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
зависимость частоты от волнового вектора представляется в виде
сложных поверхностей, которые для разных направлений могут
пересекаться и касаться. Для того чтобы описать геометрически
дисперсионные зависимости для объемной решетки v = / (q) = / (qx,
qy, qz), надо представить дисперсионную кривую в четырехмерном
пространстве.
В более сложных кристаллах, в элементарной ячейке которых
содержится m атомов, есть также три ветви аку-
*) Это бывает, например, когда молекулы связаны между собой ван-дер-
ваальсовыми силами, а атомы внутри молекулы - ковалентной связью, а
также в сложных решетках Ge и Si и др.
**) Это связано с тем, что продольные колебания вызывают сжатие и
растяжение, а поперечные - только сдвиг. В жидкостях для не слишком
высоких частот модуль сдвига равен нулю и поперечные колебания вообще
не возникают.
Мы уже упоминали, что для очень коротких волн грань между
продольными и поперечными колебаниями стирается, так как вектор
поляризации, как правило, составляет некоторый угол р направлением
распространения волны, отличный от нуля и 90(r).
m
стических колебаний, для которых все атомы одной элементарной
ячейки колеблются вместе как целое, и 3 (т - 1) оптические ветви,
соответствующие внутримолекулярным "внутриячеечным"
колебаниям.
2.5. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
Мы уже упоминали (см. гл. 1), что первое качественное
объяснение температурной зависимости теплоемкости дал в 1911 г.
А. Эйнштейн. Для этого он предположил, что кристалл можно
представить в виде совокупности N осцилляторов, колеблющихся
независимо с частотой v = ^ Уf/m,
и что энергия этих осцилляторов может принимать не любые
значения, а лишь кратные hv : е = nhv, где h - постоянная Планка
и п - любое целое число.
Эйнштейн оформил изложенные выше соображения коли-
чественно и вывел формулу для средней энергии осциллятора. Мы
приведем здесь эти вычисления, так как они чрезвычайно просты и
имеют наглядный физический смысл.
Действительно, предположим, что в соответствии с рас-
пределением Больцмана, вероятность w (е) того, что колеблющаяся
частица имеет энергию е = nhv, пропорциональна е-е/'кТ, тогда
средняя энергия
nhv
2 nhve
п=оо
kT
" = -ЫЙГ- (2-154)
-nhv
TF
ИЛИ
е =
2*
п=0
00 - nhv
2- ln2eftT. (2.155)
( kT ) п=0
Выражение под знаком логарифма есть сумма членов
бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем а = e-
bv/hT'
Таким образом,
00 _ и!}1
2 е hT= 3^. (2-156)
n=0 1 _ кТ
184
После логарифмирования и дифференцирования по 1 IkT
получаем окончательно
Av
hv
(2.157)
Нетрудно из (2.157) получить предельные значения энергии при
очень высоких и очень низких температурах. Действительно, при
kT < hv единицей в знаменателе
(2.157) можно пренебречь и
- hv
ev да е hT hv;
при kT > hv, разлагая экспоненту в знаменателе в ряд и
ограничиваясь в разложении двумя первыми членами, получим
е"kT и, следовательно, энергия грамм-атома твердого тела % = 3Ne
= 3RT и теплоемкость С = dtldT = = 3R в полном согласии с
законом Дюлонга и Пти. Согласно (2.157) энергия грамм-атома
твердого тела при любой температуре будет
3Nhv
hv
, hT
и теплоемкость
r _ 3Af(Av)2 1
dr / hv V kT2
(e^-1
(2.158)
(2.159)
На рис. 1.11 пунктиром построена теоретическая температурная
зависимость теплоемкости согласно (2.159); как видно из рисунка,
при высоких температурах обе кривые хорошо совпадают, а при
низких кривая теоретической теплоемкости убывает более круто,
чем это следует из опыта.
Согласно опыту при Т 0 теплоемкость полупроводников и
диэлектриков убывает, как Т3, в то время как согласно (1.70) она
должна убывать экспоненциально. Объяснение этого противоречия
принадлежит Дебаю (1912 г.). Дебай обратил внимание на то, что
твердое тело нельзя рассматривать как совокупность 3N
осцилляторов, колеблющихся с одной и той же частотой v = ^ Уf/m,
так как
186
в твердом теле нет независимых молекул, а все они связаны
межмолекулярными силами в единое целое. В соответствии с этим,
как было показано в предыдущем параграфе, в твердом теле
распространяются упругие волны, длина которых варьируется от
2L до 2а, а частоты - в соответствии с рис. 2.11. Число таких волн
равно числу степеней свободы твердого тела, и в первом
приближении (если пренебречь их ангармоничностью) эти
колебания можно считать независимыми.
Если сохранить гипотезу Эйнштейна о квантованных значениях
энергии осцилляторов, но в качестве независимых осцилляторов
рассматривать эти волны, то энергию кристалла уже нельзя
записать в виде
M = $?N = -(tm)hy-. (2.160)
так как у различных волн частоты, а следовательно, и энергия
фононов различны. В этом случае следует провести суммирование
по различным частотам:
vMaKc
(2-161)
VMHH g kT j
где g (Vi)- число колебаний с данной частотой v*.
Вычисление и экспериментальное нахождение этой суммы
представляет для реальных кристаллов весьма большие трудности,
