Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
соответственно М и т. В этом случае мы должны написать
отдельно уравнения движения для атома каждого сорта (четных и
нечетных):
М -^f- = f ("2п-1 - Ыгп) - f ("г/т - игп), (2.149)
т = f ("277 - "2n+l) - f ("277+2 " "277+1) • (2. 149а)
Решения этих уравнений можно искать в виде колебаний с
одинаковой частотой и длиной волны, но с разной амплитудой (для
удобства вычислений мы запишем их в комплексной форме):
"277 = 74Me2"i("a2n-v'>,
"277+1 = Лте2я^а<2п+1>-''Д (2.150)
Подставляя (2.150) в (2.149), получим два уравнения,
связывающие частоту с волновым вектором и амплитуды Ам и Ат:
Unv2 - -jfr-) Ам + (-jg- cos 2naq\ Лт = 0,
/2/ ч / м (2Л51)
(-^-cos 2naqj Ам+ (4nv2 - -^-J Лт = 0.
Решая совместно систему (2.151) двух однородных уравнений,
находим
4ят
откуда
где v0-^
равная М = 2тМ/(гп-\-М).
Выражение (2.153) показывает, что в двухатомной цепочке в
отличие от одноатомной у дисперсионной кривой есть две ветви.
Можно показать, что и в данном случае волновой вектор может
приобретать значения
На рис. 2.12 представлены дисперсионные кривые, построенные
согласно (2.153). Колебания, описываемые верх
ней ветвью, называются оптическими, а нижней - акустическими,
т. е. мы сталкиваемся с парадоксальным на первый взгляд фактом:
каждой длине волны соответствуют два колебания с существенно
различающимися частотами. Нижняя кривая соответствует знаку
"-"в уравнении (2.153), верхняя - знаку "+". В действительности
этот странный на первый взгляд факт имеет простое физическое
объяснение. Наиболее наглядно это видно на примере самых корот-
ких волн Ямин = 2а (см. рис. 2.13, а); как показано на рисунке, в
одном случае колеблются более легкие атомы, а более тяжелые
остаются в покое, а во втором-наоборот, движутся более тяжелые,
а покоятся легкие. Так как длина волны и возвращающая^ в
равновесие сила в обоих"случаях одинаковы, то ясно, что в первом
случае частота колебаний будет больше) чём во втором.
Ъ = где l<i<N¦
Рис. 2.12. Дисперсионные кри-
вые, иллюстрирующие зависи-
мость частоты от волнового век-
тора для двухатомной цепочки.
Случай очень длинных волн (X > а) проиллюстрирован
рис. 2.13, бив. Колебание, представленное на рис. 2.13, б,
ничем не отличается от случая одноатомной решетки. Ясно,
что в данном случае частота будет определяться средней
массой атомов, и это же следует из формулы (2.153); если
взять перед радикалом знак (-) и X ->• оо, то v ->• 0.
Совершенно по-другому будет обстоять дело в слу-
чае колебаний, представленных на рис. 2.13, в и г *>.
Здесь мы имеем дело по существу с внутримолекуляр-
ными колебаниями, с той лишь разницей, что сила,
^псГ'Л':^-
-1-
д)
т_-т т т-
_^гГ!1Т.2:т>^ 1 I 1
6) г)
Рис. 2,13, Колебания двухатомной цепочки:
а) X = 2а, б) X а (акустические колебания), в) X а (оптические колебания), г) X = оо
(оптические колебания).
возвращающая каждый атом в положение равновесия, будет вдвое
больше. Поэтому и частота в этом случае отличается от частоты
молекулярных колебаний множителем |Л2. Таким образом, в
цепочке, состоящей из двух сортов атомов, дисперсионная кривая
(т. е. зависимость частоты от волнового числа) разбивается на две
ветви; как мы уже упоминали, первая из них та, для которой при q-
+0 значение v ->• О, называется акустической (так как начало этой
ветви включает частоты звуковых колебаний), вторая ветвь
называется оптической (так как для этой ветви при <7-v 0 значение
v-v 1013, что соответствует частотам электромагнитных колебаний
инфракрасной области спектра).
*) На рис. 2.13, а все молекулы колеблются в одной и той же фазе,
следовательно, X = оо,
т
Оптическая ветвь колебаний возникает не только в результате
различия масс атомов (случай, рассмотренный выше), но и тогда,
когда массы всех атомов одинаковы, а расстояния между
молекулами и внутри молекулы различны *\ а следовательно,
отличны и силы, возникающие при меж- молекулярных и
внутримолекулярных колебаниях. Нетрудно убедиться, что и
математическая теория дает здесь два значения частоты для
каждой длины волны (за счет двух коэффициентов упругой связи, Д
и /2).
В заключение этого параграфа остановимся коротко на
колебаниях трехмерной кристаллической решетки.
Математическая теория в этом случае весьма громоздка, поэтому
ограничимся лишь качественными соображениями. В кристалле с
одним атомом в элементарной ячейке существуют только
акустические колебания. При этом каждому заданному по величине
и направлению волновому вектору соответствуют три колебания:
одно продольное и два поперечных. При той же амплитуде и длине
волны возвращающая упругая сила при продольных колебаниях
больше, чем при поперечных, поэтому частота и скорость
поперечных колебаний соответственно меньше **>. '
В анизотропных средах частота и скорость распространения
волны могут зависеть не только от величины волнового вектора, но
и от его направления. Поэтому уже для плоской решетки
